Berechnen Sie die Oberfläche eines (nicht regulären) Tetraeders mit den Ecken A=(1,0,1) , B=(2,1,2), C=(3,0,2) und …

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 3:
Berechnen Sie die Oberfläche eines (nicht regulären) Tetraeders mit den Ecken \( A=(1,0,1) \), \( B=(2,1,2), C=(3,0,2) \) und \( D=(2,-1,0) \).

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

ich benötige bei folgender Aufgabe bitte Hilfe.

Mein Problem ist, dass mir nicht ersichtlich wird, wie die Punkte im Raum zueinander stehen. Eine Zeichnung zeigt mir nur, dass Punkt A und B aufeinander liegen und mit Punkt D eine Gerade bilden.

Falls ich die Info hätte, würde ich dann die "Kantenvektoren" berechnen und dann mithilfe von Pythagoras die Fläche berechnen.

Danke für jegliche Tipps!

Answer 1

Der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren ist die Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

A = (|AB ⨯ AC| + |AB ⨯ AD| + |AC ⨯ AD| + |BC ⨯ BD|)/2

A = (|[1, 1, 1] ⨯ [2, 0, 1]| + |[1, 1, 1] ⨯ [1, -1, -1]| + |[2, 0, 1] ⨯ [1, -1, -1]| + |[1, -1, 0] ⨯ [0, -2, -2]|)/2 = √14/2 + √6/2 + √3 + √2 = 6.242

Comments

PS: Es ist nicht nötig, dass man genau weiß wie es grafisch aussieht. Das ist in einem Koordinatensystem in 2D eh immer etwas problematisch.

Hier eine Skizze von Geogebra. Wenn dann lass es dir dort mal zeichnen und schau es dir aus verschiedenen Richtungen an.

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Super, danke dir für die tolle Erklärung.

Ich verstehe jedoch trotzdem nicht ganz, wie ich weiß, welche Punkte bzw. Vektoren zusammengehören, um die dann entsprechend richtig zu verrechnen.

Wie würde man darauf ohne Zeichnung schließen?

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Mal dir einfach mal ein Tetraeder mit der Grundseite ABC und der Spitze D auf.

Die Grundseite wird dann z.B. von AB und AC aufgespannt. Die Seitenflächen von AB und AD sowie AC und AD.

Zeichne dir entsprechende Vektoren einmal ein und die Flächen die jeweils die 2 Vektoren bilden. Ich denke dann wird es dir viel klarer werden.

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Super, das hat geholfen, vielen Dank!

Ein schönes Wochenende :)