Bestimmen sie mit Hilfe des Vektorproduktes die Oberfläche des Tetraeders.

Question

Bestimmen Sie mit Hilfe des Vektorproduktes den Oberflächeninhalt des durch

A= (0,0,0), B= (4,1,-1), C= (1,6,1), S= (2,2,6)

bestimmten Tetraeders.

Lösung soll sein A = 62,927.

Comments

Du kannst F = 1/2(|ABxAC| + |ABxAS| + |ACxAS| + |BCxBS|) rechnen. Faktor 1/2, weil es sich um Dreiecke (=halbe Parallelogramme) handelt.

Versuch das schon mal.

Answer 1

A=(0,0,0)
B=(4,1,-1)
C=(1,6,1)
S=(2,2,6)

Im Geoknecht: https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(0%7C0%7C0%200%7C0%7C0)%0Avektor(0%7C0%7C0%204%7C1%7C-1)%0Avektor(0%7C0%7C0%201%7C6%7C1)%0Avektor(0%7C0%7C0%202%7C2%7C6)%0Adreieck(0%7C0%7C0%204%7C1%7C-1%202%7C2%7C6)%0Adreieck(4%7C1%7C-1%201%7C6%7C1%202%7C2%7C6)%0Adreieck(0%7C0%7C0%204%7C1%7C-1%201%7C6%7C1)%0Adreieck(0%7C0%7C0%201%7C6%7C1%202%7C2%7C6)

Die Flächeninhalte von 4 Dreiecksflächen der Dreiecke
ABC
ABS
ACS
BCS
sind zu summieren.

Der Betrag des Vektorprodukts ist eine Parallelogrammfläche, die Hälfte davon ist eine Dreiecksfläche.

Flächeninhalt des Dreiecks ABC
Aabc = 0.5 |AB x AC|

Flächeninhalt des Dreiecks ABS
Aabs = 0.5 |AB x AS|

Flächeninhalt des Dreiecks ACS
Aacs = 0.5 |AC x AS|

Flächeninhalt des Dreiecks BCS
Abcs = 0.5 |BC x BS|

AB = B-A = (4,1,-1)
AC = C-A = (1,6,1)
AS = S-A = (2,2,6)
BC = C-B = (-3, 5, 2)
BS = S-B = (-2, 1, 7)


A = 0.5 ( |AB x AC| + |AB x AS| + |AC x AS| + |BC x BS|)
A=0.5(|(4,1,-1) x (1,6,1)| + |(4,1,-1) x (2,2,6)| + |(1,6,1) x (2,2,6)| + |(-3, 5, 2) x (-2, 1, 7)|)
A = 0.5 ( |(7,-5,23)| + |(8,-26,6)| + |(34,-4,-10)| + |(33,17,7)| )
A = 0.5 ( √603 + √776 + √1272 + √1427)  
A = 62,927