Unterbestimmtes Gleichungen und deren Lösungsmenge

Question

Aufgabe:

ich habe folgendes Gleichungssystem zu der ich eine Lösung herausfinden soll

3x-y+z=9

-2x+4y-z=3

Problem/Ansatz:

Und zwar habe ich die erste Zeile mit 2 und die 2 Zeile mit drei multipliziert un addiert, sodass ich auf folgende Gleichung komme

3x-y+z=9

10y-z=27

da zwei Unbekannte kann entweder für y oder z beliebg eingesetzt werden

y=u

10u-z=27

z=27+10u

das ganze in die erste gleichung ergibt

3x-10u-27+10u=9

x=12

sodass ich auf folgende Lösungsmenge komme

x=12

y=10u

z=-27+10u

Laut Buch soll die Lösungsmeng

(12,0,-27)+U*(-3,1,10)

sein, außer z stimmt ja nichts überein, sodass ich mir nicht sicher bin, wo hier einen Fehler gemacht habe

Answer 1

Auch dein z stimmt nicht, Umformungsfehler.

z=10u-27, rechne ab da nochmal neu, schreib die erste Gleichung richtig ab, das ändert das x und dann sollte es passen.

Comments

Hey Danke für die Antwort, ist nicht 10u-27 as selbe wie -27+10 u?

Habs nun in die erste gleichung eingesetzt und erhalte folgendes

3x-u+10U-27=9

darauf folgt

3x+9u=36

3x=36-9u

x=12-3 u

Hab meinen Denkfehler gefunden- hatte anstatt u wieder 10 u eingesetzt

Danke Dir!

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Achso, ja, das z=27+10u oben war nur ein Schreibfehler, eingesetzt hattest Du das richtige z (aber das falsche y).

Answer 2

3·x - y + z = 9
-2·x + 4·y - z = 3

Addiere zunächst beide Gleichungen, sodass z wegfällt! Das ist einfacher als beide Zeilen noch zu multiplizieren.

x + 3·y = 12 → x = 12 - 3·y

Setze das Ergebnis in eine der obigen Gleichungen ein und löse dann auch noch nach z auf

3·(12 - 3·y) - y + z = 9 --> z = 10·y - 27

Die Lösung ist daher:

[x, y, z] = [12 - 3·y, y, 10·y - 27] = [12, 0, - 27] + y·[- 3, 1, 10]