Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem mit 6 Variablen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

$$y=X\beta \ mit \ y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})^T\in\mathbb{R}^4$$

$$X=\begin{pmatrix}  1 &1&0&0&1&0 \\ 1&1&0&0&0&1 \\1&0&1&0&1&0 \\1&0&0&1&0&1 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{4x6}$$

$$\\\beta=(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4},\beta_{5},\beta_{6})\in\mathbb{R}^6$$

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Answer 1

Aloha :)

Bilde möglichst viele Spalten mit lauter Nullen und genau einer Eins:

$$\begin{array}{rrrrrr|c|l}\beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \beta_4 & \beta_5 & \beta_6 & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & y_1 &\\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & y_2 &-\text{Gl. 1}\\1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & y_3 &-\text{Gl. 1}\\1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & y_4 &-\text{Gl. 1}\\\hline\pink1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & y_1 & +\text{Gl. 4}\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & y_2-y_1 &\\0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & y_3-y_1 &-\text{Gl. 4}\\0 & -1 & 0 & 1 & -1 & 1 & y_4-y_1 & \cdot(-1)\\\hline\pink1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & y_4 &\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & y_2-y_1 & \cdot(-1)\\0 & 0 & \pink1 & -1 & 1 & -1 &y_3-y_4 &+\text{Gl. 2}\\0 & \pink1 & 0 & -1 & 1 & -1 & y_1-y_4 & +\text{Gl. 2}\\\hline\pink1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & y_4 &\\0 & 0 & 0 & 0 & \pink1 & -1 & y_1-y_2 &\\ 0 & 0 & \pink1 & -1 & 0 & 0 & y_2+y_3-y_1-y_4&\\0 & \pink1 & 0 & -1 & 0 & 0 & y_2-y_4\end{array}$$

Die erhaltenen Gleichungen kannst du nach den pinken \(\beta\)-Variablen umstellen:$$\beta_1=y_4-\beta_4-\beta_6$$$$\beta_5=(y_1-y_2)+\beta_6$$$$\beta_3=(y_2+y_3-y_1-y_4)+\beta_4$$$$\beta_2=(y_2-y_4)+\beta_4$$

und damit schließlich alle Lösungen angeben:$$\small\vec\beta=\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\\\beta_4\\\beta_5\\\beta_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_4-\beta_4-\beta_6\\(y_2-y_4)+\beta_4\\(y_2+y_3-y_1-y_4)+\beta_4\\\beta_4\\(y_1-y_2)+\beta_6\\\beta_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_4\\y_2-y_4\\y_2+y_3-y_1-y_4\\0\\y_1-y_2\\0\end{pmatrix}+\beta_4\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+\beta_6\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\0\\1\\1\end{pmatrix}$$

Comments

Danke, das hat mir sehr geholfen.