Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

Question

Hallo ich habe das LGS

 

I   x + y + z = 9

II -2x +y +2z = 12 

 

Ich habe die Lösungsmenge L={(1/3*c-1; 10-4/3*c;c) c∈ℝ} raus. 

Jetzt lautet die Frage: Gibt es eine Lösung (x;y;z) mit nur aus natürlichen Zahlen bestehend, d.h. x, y &z = ℕ?

Ich weiß, dass wenn für c = 3 oder 6 eingesetzt wird, dass nur natürliche Werte rauskommen, aber wie komme ich auf diese Werte? Wie ist der allgemeine Weg dahin? 

Danke :)

Answer 1

Nun, offenbar ist x und y genau dann ganzzahlig, wenn gilt

( 1 / 3 ) c ist ganzzahlig

und

( 4 / 3 ) c ist ganzzahlig.

Das aber bedeutet, dass c notwendig eine durch 3 teilbare ganze Zahl sein muss.
Diese Bedingung ist auch hinreichend. Wenn also c eine durch 3 teilbare Zahl ist, dann sind x und y ganzzahlig.

Daher gilt: 

x , y ganzzahlig <=> 3 | c
(gesprochen: "3 teilt c")