Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von a lösen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei \( A = \left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 \\ a & 2 a & 1\end{array}\right) \) , \( b = \left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) \) in Abhängigkeit von a∈R.

Für welche a hat Ax = b keine, eine oder unendliche viele Lösungen?

Ax = b ist also ein unterbestimmtes LGS. Also kann es doch nur keine oder unendlich viele Lösungen haben, oder? Genau eine Lösung gäbe es nur, wenn alle Unbekannten errechnet werden könnten und es keine freie Variable gibt.

Keine Lösung hat das LGS nur, wenn der Rang von A nicht dem Rang von Ax = b entspricht.

Dazu müsste nach dem Gauß-Verfahren 1 Zeile eine Nullzeile werden. Dazu sehe ich aber keinen Rechenweg, der mich zu diesem Ziel bringt?

Also bliebe ja nur übrig, dass Ax = b unendlich viele Lösungen hat, egal, welche a man einsetzt.

In der Aufgabe wird aber nach einer Lösung für a verlangt. Welche Lösungsmöglichkeiten für a müsste ich korrekterweise angeben?

Danke für Eure Hilfe! :)

Answer 1

Da kann ich deine Vermutung bestätigen.

Ich schreibe mal die beiden Gleichungen hin:

x= 1 

ax + 2ay + z= -1

Sie lassen sich zusammenfassen zu 

x=1 und 

a + 2ay + z=-1

z = -1 - a -2ay    (*)

Für a=0 kann nun y beliebig sein. Daher x=1, y beliebig und z=-1. unendlich viele Lösungen.

Aber auch für a≠0 kann y beliebig sein. z ist dann einfach gemäss (*) zu berechnen.

Daher ist L für beliebige a:

L= {(x,y,z) | x=1, y=t, z = -1-a-2at}

Es gibt für beliebige a ∈ R unendlich viele Lösungen.