Zeigen Sie, dass U ein Unterraum von R^3 ist

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den Vektorraum R^3. Zeigen Sie, dass

U={x=(x1, x2, x3,) R^3 mit x2=x1+x3}

ein Unterraum von R3 ist.

Problem/Ansatz:

Wie lauten die Rechenwege?

Answer 1

Hallo

du musst ja nur zeigen, dass die so definierten Vektoren einen VR bilden. mit v aus U auch r *V, mit u und v aus U auch v+u und unbedingt muss der Nullvektor drin liegen,

du kannst sonst auch einfach eine Basis des Raums angebendes 2 Lin unabhängigen Basisvektoren.

lul

Answer 2

Aloha :)

Damit eine Vektor zur Menge \(U\) gehört, muss \(\;x_2=x_1+x_3\;\) gelten.

Wir können damit alle Vektoren aus \(U\) wie folgt aufschreiben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_1+x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$

Das ist eine Ebene durch den Urpsrung mit den beiden angegeben Basisvektoren.

Es handelt sich also um einen 2-dimensionen Untervektorraum des \(\mathbb R^3\).