Entscheiden und begründen Sie, ob die Menge U ein Unterraum von R^n ist

Question

Hallo:

Ich bin nicht sicher wie muss man die Geschlossenheit unter Addition bzw. Multiplikation bei d) zeigen.

Comments

Bei (d) gibt's nicht viel zu zeigen, da offenbar U = ℝⁿ ist.

Answer 1

Genau, es geht im Wesentlichen um die Abgeschlossenheit.

Bei a) etwa so:  Es ist wegen a≠0

<a,a>  > 0 , also a∈U, aber <a,-a> < 0 , also -a ∉ U,

damit ist U kein Unterraum.

b) auch keiner, weil der Nullvektor nicht dazu gehört.

c) da klappt es

d) wohl wieder nicht

Comments

Warum bei (d) nicht?

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Bei d) wie kann ich die Geschlossenheit unter Addition und Multiplikation zeigen?

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Korrigiere: Bei d) klappt es wohl auch; denn

du kannst ja auch schreiben:

Es gibt ein y mit A*x=y .

Seien also x und u aus U, dann gibt es

y und v mit A*x=y und A*u=v.

Also A*(x+y) = y+v also gibt es zu x+v auch

einen Vektor, nämlich y+v der durch

A*(x+y) entsteht.

Entsprechend auch mit:  Es gibt ein y mit A*x=y

Dann gilt für jedes a∈ℝ auch A(ax) = a*(A*x) = a*y ,

also gibt es für ax den Vektor a*y und der ist auch in ℝ^n .

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Seien also x und u aus U, dann gibt es

y und v mit A*x=y und A*u=v.

Also A*(x+y) = y+v also gibt es zu x+v auch

einen Vektor, nämlich y+v der durch

A*(x+y) entsteht.

Meinst du vielleicht:

Seien also x und u aus U, dann gibt es

y und v mit A*x=y und A*u=v.

Also A*(x+u) = y+v also gibt es zu x+u auch

einen Vektor, nämlich y+v der durch

A*(x+u) entsteht.

Oder habe ich alles falsch verstanden?

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Da war ich was mit u und v durcheinander gekommen.

Du hast alles prima korrigiert.