Ist die U ein Unterraum von R^(3) - Reicht dieser Beweis ? (Linalg Erstsemester)

Question

Aufgabe:

\( \begin{array} { l } { \text { Welche Teilmengen sind Untervektorräume der jeweilgien Vektorräume? Be- } } \\ { \text { weise deine Aussage. } } \\ { \text { 1. } \left\{ \left( x ^ { 2 } , y ^ { 2 } , 2 x - 2 y \right) | x , y \in \mathbb { R } ^ { 3 } \right\} \subset \mathbb { R } ^ { 3 } } \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Da ich in Sache Beweisen noch ziemlich ungeübt bin, interessiert es mich ob so etwas akzeptiert wird oder nicht. Weil das vielleicht von Prof zu Prof unterschiedlich sein kann, könnt ihr auch einfach etwas dazu sagen. Ich freue mich aber auch über allgemeine Vorschläge und Kritik. 

Das einzige was ich gemacht habe ist streng nach Definition und Forderungen a,b,c einzusetzen, 

Bei beiden Abgeschlossenheiten bin ich mir unsicher, ich verwende das Wissen, ohne es auf dem Blatt notiert zu haben dass wenn ein Element aus IR mit einem Element aus IR multipliziert oder Addiert werden, ist das Resultat wieder in IR und somit der Vektor v oder u immernoch in IR^(3). 

Egal was ich mit den Vektoren u und  v gezeigt habe, ich komme nie aus dem IR^(3). 



Hier noch das Bild des Beweises:

Answer 1

Hallo

dass diese Menge kein UR ist kannst du direkt sagen, denn -1*(x^2,y^2,2x-2y) müsste dazugehören, tut es aber nicht.

ausserdem liegt die Summe ja nicht in der Menge, denn (v1-v2)^2 ist ja nicht =v1^2

 du musst also genauer hinsehen, ob die summe der Vektoren wieder die Bedingungen erfüllt!

Wenn es kein UR ist reicht es eine Argument wie das oben zu nennen, aber dass auch λ*u die Bedingungen nicht erfüllt, müsstest du sehen.

Gruß lul

Comments

Erstmal, vielen Dank für deine Antwort.
Also das verstehe ich nicht wirklich. 


Überarbeitete Aufgabe: 

Ich nenne den Unterraum U der durch die untenstehende Menge gegeben ist:

$$ U = \left\{ \left( x ^ { 2 } , y ^ { 2 } , 2 x - 2 y \right) | x , y \in \mathbb { R } ^ { 3 } \right\} \subset \mathbb { R } ^ { 3 } $$

Ausserdem: Seien v = \( \begin{pmatrix} v1^2\\v2^2\\2(v1-v2) \end{pmatrix} \) und u =  \( \begin{pmatrix} u1^2\\u2^2\\2(u1-u2) \end{pmatrix} \)


1.  Nullvektor ist enthalten ⇒ U ist nicht leer. 

Wähle die Einträge v1 = 0, v2 = 0. 
Dann ist der Vektor 

v =  \( \begin{pmatrix} v1^2\\v2^2\\2(v1-v2) \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} 0^2\\0^2\\2(0-0) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) = 0_v

1. Bedingung somit erfüllt.

2. Abgeschlossenheit der Vektoraddition. 

v + u = \( \begin{pmatrix} v1^2 + u1^2\\v2^2 + u2^2\\2(v1-v2) + 2(u1-u2) \end{pmatrix} \)


Ich schreibe die jeweiligen Gleichungen auf:

v1^2 + u1^2 muss gemäss Menge U von der Form x^2 sein.

Wir bewegen uns in R, jeder einzelne Eintrag ist eine reelle Zahl.
Also kann ich vom Resultat die Quadratwurzel nehmen und dann klappt das meiner Meinung.
Analoge Überlegung für v2^2 + u2^2 = y^2.

Dritte Gleichung, dritte Koordinate der Summe.
Die Summe ist eine Gerade Zahl denn das zweifache einer Zahl minus das zweifache einer Zahl ist wieder Gerade. Und gemäss Vorschrift der Menge U ist auch 2(x-y) eine Gerade Zahl. 

Also müsste (wenn meine Überlegungen fehlerfrei sind) die Vektoraddition in U abgeschlossen sein. 


3. Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation 

Sei a in R und v in U. 

a*v =  a*\( \begin{pmatrix} v1^2\\v2^2\\2(v1-v2) \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} a* (v1^2) \\a * (v2^2) \\ a * (2(v1-v2))  \end{pmatrix} \)

Für v1 = v2 = 1 und a = -1 erhalte ich 

einen Vektor, ich nenne ihn x = \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\0 \end{pmatrix} \), vergleiche ich den mit der Vorschrift in U, ist er nicht in U enthalten, so dass die Skalarmultiplikation nicht abgeschlossen ist. 

U ist also kein Unterraum von IR^3.



Frage

Wo habe ich in dieser Überarbeiteten Aufgabe (dieser Post)  den Fehler gemacht?

Du sagtest, dass die Addition schon mal nicht abgeschlossen ist. Ich glaube aber, dass diese Abgeschlossen ist, da die Einträge ja aus IR sind und sich meiner Meinung nach aus einer Summe v1 + v2 bzw. deren Resultat die Wurzel ziehen lässt, so dass es abgeschlossen ist und auch die unterste Gleichung geht für mich auf.