Bestimmen Sie die optimalen Seitenlängen des Quaders.

Question

Aufgabe:Ihnen stehen 96m2 Blech zur Verfügung. Sie sollen damit einen möglichst großen Quader von allen Seiten umschließen. Die Grundfläche soll quadratisch sein mit Kantenlänge g, die Höhe sei h.
(a) Formulierung Sie das Maximierungsproblem mit Nebenbedingungen.
(b) Bestimmen Sie die optimalen Seitenlängen des Quaders.

Problem/Ansatz:

HB: einen möglichst großen Quader von allen Seiten umschließen.

NB: Oberfläche: 2g² +4gh =96 m²

2g² +4gh =96

dann habe ich nach h aufgelöst.

h= 24/g - g/2

wie geht es jetzt weiter ?

Danke

Answer 1

V= g²*h

Setze h aus der NB ein und berechne:

V'(g) =0

Answer 2

Aloha :)

Du möchtest das Volumen $V$ unter einer konstanten Nebenbedingung $f$ optimieren:$$V(g;h)=g^2\cdot h\to\text{Maximum}\quad;\quad f(g;h)=2g^2+4gh=96$$

Dazu kannst du die Nebenbedingung $f$ nach $gh$ umstellen:$$2g^2+4gh=96\implies gh=24-\frac{g^2}{2}$$in die Formel für $V$ einesetzen:$$V(g;h)=g^2\cdot h=g\cdot gh=24g-\frac{g^3}{2}\eqqcolon V(g)$$

Danach hängt die Funktion $V(g)$ nur noch von $g$ ab, sodass du mit den bekannten Mitteln der Differentialrechnung die Kandidaten für Extremwerte bestimmen kannst:$$0\stackrel!=V'(g)=24-\frac32g^2\implies g=\pm4$$Die negative Lösung ist irrelevant, da es keine negativen Längen gibt.

Wir prüfen den Kandidaten $\,g=4\,$ durch Einsetzen in die zweite Ableitung:$$V''(g)=-3g\implies V''(g=4)=-12<0\implies\text{Maximum}\quad\checkmark$$Wir haben bei $\,g=4\,$ also tatsächlich das maximale Volumen gefunden.

Die zugehörige Höhe $h$ ermitteln wir aus der Nebenbedingung:$$2g^2+4gh=96\stackrel{(g=4)}{\implies}32+16h=96\implies h=4$$

Wir haben die optimale Lösung also bei $\,\pink{g=4}\,$ und $\,\pink{h=4}\,$:

Das optimale Volumen ist also ein Würfel mit der Kantenlänge $4$.