Seitenlängen eines Quaders optimieren um größtmögliches Volumen zu erhalten

Question

Gesucht wird eine Kartonverpackung der Form eines Quaders, die die Höchstmaße eines internationalen Deutsche Post Maxibriefes so ausnutzt, dass das mathematisch größtmögliche Innenvolumen entsteht. Dabei darf keine Seite länger als 60 cm lang sein, Länge + Breite + Höhe dürfen zusammen höchstens 90 cm lang sein und das Mindestmaß ist 14 cm an einer Seite und 9 cm an einer anderen. Welche Seitenlängen hat der Karton? Welches Innenvolumen in ml hat der Karton, wenn man von einer Wandstärke von 0,2 cm ausgeht? Faltungen und Klebungen werden außer Acht gelassen.

Comments

Ich komme auf 30 * 30 * 30:
Ist das mit allen Vorgaben vereinbar ?

---

L: 14 - 60 cm
B: 9 - 60 cm
H: 0 - 60 cm

L+B+H: 0 - 90cm

30 cm x 30 cm x 30 cm ist mit allen Vorgaben vereinbar. Ist es denn wirklich ein Optimum?

---

Ist es nicht völlig egal, wie die Seitenlängen gewählt werden, solange das Bandmaß immer die vollen 90 cm ausschöpft?

---

10x10x70 = 700

Nein, eigentlich nicht.

Answer 1

Hier meine Berechnungen
a + b + c = 90
c = 90 - a - b

V = a * b * c = a * b * ( 90 - a - b )

Max ist gesucht. Partielle Ableitung nach a und b.
va ´= b * [ 1 * ( 90 - a - b ) + a * (-1)  ]
va ´= b * [ 90 - a - b - a ]
va ´= b * [ 90 -2a - b  ]

vb ´= a * [ 1 * ( 90 - a - b ) + b * (-1)  ]
va ´= a * [ 90 - a - b - b ]
va ´= a * [ 90 - a - 2b  ]

Extremwerte
b * [ 90 -2a - b  ] = 0
a * [ 90 - a - 2b  ] = 0

a = 30
b = 30
c = 90 - 30 - 30 = 30