Potenzmenge von X beweisen

Question

Text erkannt:

Aufgabe III.4 (10 Punkte):
Sei \( X \) eine Menge und sei \( \mathcal{P}(X) \) die Potenzmenge von \( X \). Beweisen Sie, dass
\( \#(X)<\#(\mathcal{P}(X)) \text {. } \)

Tipp: Definieren Sie zunächst eine injektive Abbildung \( f: X \longrightarrow \mathcal{P}(X) \). Dann zeigen Sie, dass es keine surjektive Abbildung \( g: X \longrightarrow \mathcal{P}(X) \) gibt. Um dies zu sehen, zeigen Sie, dass das Bild von \( g \) die Teilmenge \( Y:=\{x \in X: x \notin g(x)\} \) nicht enthält.

Answer 1

injektive Abbildung:   Definiere

\( f: X \longrightarrow \mathcal{P}(X) \text{ mit }  f(x)=\{x\} \text{ für alle } x∈X.\)  

Zum 2. Teil verwende den Tipp.

Angenommen g wäre surjektiv, dann gäbe es ein a mit g(a)=Y.

Nach Def. von Y also a∉Y=g(a).

Andererseits sind in Y gerade diejenigen x mit x∉g(x), demnach

also a∈Y.    Widerspruch !   Also gibt es kein a mit g(a)=Y,

somit g nicht surjektiv.