Aloha :)
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion$$f(x;y)=x^2+y^2$$eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein$$g(x;y)=4x-3y\stackrel!=25=\text{const}$$
Da er hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2x}{2y}=\lambda\cdot\binom{4}{-3}$$Der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) darf nicht Null sein, denn sonst hätten wir die Nebenbedingung ignoriert. Daher können wir ihn loswerden, indem wir die Gleichung für die erste Koordinate durch die Gleichung für die zweiten Koordinate dividieren:$$\frac{2x}{2y}=\frac{\lambda\cdot 4}{\lambda\cdot(-3)}\implies\frac xy=-\frac43\implies\pink{x=-\frac43y}$$
Die pinke Lagrange-Bedingung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$25=4\pink x-3y=4\cdot\left(\pink{-\frac43y}\right)-3y=-\frac{25}{3}y\implies y=-3$$
Damit haben wir das Minimum bei \(\,M(4|-3)\,\) gefunden.
Im nächsten Teil sollst du nun zeichnen. Das kann WolframAlpha besser als ich:
https://www.wolframalpha.com/input?i=optimize+x%5E2%2By%5E2+where+4x-3y%3D25
