Aufgabe:
Gegeben sei die reelle Matrix:
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \end{array}\right) \)
Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte sowie die algebraische und die geometrische Vielfachheit von jedem Eigenwert.
Problem/Ansatz:
Bis auf die algebraische Vielfachheit habe ich alles folgendermaßen gelöst:
\( \begin{array}{l} P_{A}(x)=\left|\begin{array}{ccccc} (1-\lambda) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (0-\lambda) & 0 & 1 \\ 0 & -1 & (1-\lambda) & 1 \\ 1 & -1 & 0 & (2-\lambda) \end{array}\right| \overrightarrow{A_{41}\left(\frac{1}{\lambda-1}\right)} \\ \left|\begin{array}{cccc} 1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 2-\lambda \end{array}\right| \overrightarrow{A_{32}\left(-\frac{1}{\lambda}\right)}\left|\begin{array}{cccc} 1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda & \lambda-\lambda \\ 0 & -1 & 0 & 2-\lambda \end{array}\right| \\ \overrightarrow{A_{42}\left(\frac{-1}{\lambda}\right)}\left|\begin{array}{cccc} 1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda & \lambda-\frac{1}{\lambda} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-\lambda^{2}+2 \lambda-1}{\lambda} \end{array}\right| \\ =(1-\lambda) \cdot(-\lambda) \cdot(1-\lambda) \cdot\left(\frac{-\lambda^{2}+2 \lambda-1}{\lambda}\right) \\ =\lambda^{4}-4 \lambda^{3}+6 \lambda^{2}-4 \lambda+1=\operatorname{det} \end{array} \)
\( (\lambda-1)^{4}=0 \)
\( \begin{array}{l} \lambda-1=0 \\ \lambda=1 \quad \text { für } \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4} \end{array} \)
Somit lauten meine vier Eigenwerte 1!
Die geometrische Vielfacheit ist 2!
Wie bestimmt man jetzt aber genau die algebraische Vielfachheit (das verstehe ich noch nicht ganz) - das müsste ja die Vielfachheit der Nullstellen sein und anhand des charakteristischen Polynoms ablesbar sein!?
Vielen Dank für Hilfreiche Erklärungen im Voraus :)!
