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Aufgabe 13 (8 Punkte). Wir betrachten erneut den Hamming-Raum \( H\left(3, \mathbb{F}_{2}\right) \) und lineare Codes \( C_{i} \) bestehend aus acht Codewörtern welche Wörter aus \( H\left(3, \mathbb{F}_{2}\right) \) über \( H\left(5, \mathbb{F}_{2}\right) \) codieren.
Der Code \( C_{1} \) besteht aus den folgenden Wörtern in \( H\left(5, \mathbb{F}_{2}\right) \)
\( \begin{array}{lllll} (0,0,0,0,0) & (0,0,1,1,1) & (0,1,0,1,0) & (1,0,0,0,1) \\ (0,1,1,0,1) & (1,0,1,1,0) & (1,1,0,1,1) & (1,1,1,0,0) . \end{array} \)
Der Code \( C_{2} \) besteht aus den folgenden Wörtern in \( H\left(5, \mathbb{F}_{2}\right) \)
\( \begin{array}{lllll} (0,0,0,0,0) & (0,0,1,1,0) & (0,1,0,0,1) & (1,0,0,0,0) \\ (0,1,1,1,1) & (1,1,0,0,1) & (1,0,1,1,0) & (1,1,1,1,1) . \end{array} \)
Geben Sie für beide Codes jeweils die Erzeugermatrix in der Form \( \left(\mathbb{I}_{k} \mid A\right) \), sowie die dazugehörige Prüfmatrix an. Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Matrizen den Minimalabstand beider Codes. Wie viele Fehler können die beiden Codes erkennen und korrigieren?
