Aufgabe:
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Aufgabe 4. Wir betrachten den Hamming-Raum \( H\left(3, \mathbb{F}_{2}\right) \) und einen linearen Code \( C \) bestehend aus acht Codewörtern, welche Wörter aus \( H\left(3, \mathbb{F}_{2}\right) \) über \( H\left(6, \mathbb{F}_{2}\right) \) codieren.
Der Code \( C_{1} \) besteht aus den folgenden Wörtern in \( H\left(6, \mathbb{F}_{2}\right) \)
\( \begin{array}{lccc} (0,0,0,0,0,0) & (0,0,1,1,0,1) & (0,1,0,0,1,1) & (0,1,1,1,1,0) \\ (1,0,0,1,1,0) & (1,0,1,0,1,1) & (1,1,0,1,0,1) & (1,1,1,0,0,0) \end{array} \)
Geben Sie für diesen Code die Erzeugermatrix in der Form (Ik | A), sowie die dazugehörige
Prüfmatrix an. Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Matrizen den Minimalabstand des Codes. Wie
viele Fehler kann der Code erkennen und korrigieren?
Problem/Ansatz:
Die Erzeugermatrix und Prüfmatrix habe ich:
E:
1 0 0 | 1 1 0
0 1 0 | 0 1 1
0 0 1 | 1 0 1
und P:
1 0 1 | 1 0 0
1 1 0 | 0 1 0
0 1 1 | 0 0 1
Mein Problem ist es nun den Minimalabstand anhand dieser Matrizen zu bestimmen. Anhand der Codewörter, würde ich jetzt sagen der Minimalabstand ist 3. Wie kann ich das anhand der Matrizen sehen? Ich meine es geht um linear unabhängige Vektoren, allerdings verstehe ich nicht genau was damit gemeint ist. Soweit ich weiß kann ich das irgentwie an der Prüfmatrix ablesen, leider weiß ich nicht wie. Für Hilfe wäre ich dankbar.
