Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an.

Question

Aufgabe:

Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.

1. Ist ein Ereignis unabhängig von sich selbst, so ist seine Wahrscheinlichkeit 0 oder 1.

2. Ist X ~ binom (12,P) und E(X)/Var(X) = 3/4, so ist E(X) = 3.

3. Ist A eine Teilmenge von B, so ist P(B|A) = 1.

4. Wenn ein Ereignis A unabhängig von seinem Komplement ist, so ist P(A) entweder 0 oder 1.

5. Sind X und Y abhängige Zufallsvariablen, so sind im Allgemeinen E(X+Y) und E(X) + E(Y) verschieden.

Problem/Ansatz:

Benötige Hilfe bei der Beantwortung dieser Fragen: Mein Ansatz wäre

1. Richtig

2. Falsch -> E(X)=4

3. Richtig

4. Falsch

5. Richtig

Comments

1. Ist ein Ereignis unabhängig von sich selbst,

Was soll das bedeuten? Welches Ereignis könnte das sein?

2. Ist X ~ binom (12,P)

In Worten??

---

Ein Ereignis A ist unabhängig von sich selbst, wenn

        P(A) · P(A) = P(A ∩ A)

ist.

X ~ binom (12,P) bedeutet X ist binomialverteilt mit n=12.

---

Ein Ereignis A ist unabhängig von sich selbst, wenn

      P(A) · P(A∁) = P(A ∩ A∁)

Danke. Hättest du dafür ein anschauliches Beispiel?

---

P(A) · P(A^∁) = P(A ∩ A^∁)

Das war natürlich Blödsinn. Ich war Gedanklich immer nochg bei 4.

Richtig ist P(A) · P(A) = P(A ∩ A).

Ein Würfel wird geworfen. Ereignis \(A\): die geworfene Augenzahl ist größer als \(47\).

---

Danke.

Ich tue mich schwer mit dem Begriff : unabhängig von sich selbst

Kann man das auch anders formulieren? Was meint hier unabhängig?

---

Was meint hier unabhängig?

"Unabhängig" meint hier das, was es immer meint.
Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig voneinander, wenn meine Kenntnis ob A eingetreten ist oder nicht, meine Aussage über die Wahrscheinlichkeit darüber, ob B eingetreten ist, nicht ändert.

Vier Beispiele : Würfelwurf.

1. Beispiel: A und B sind verschieden.
A : Die Zahl ist gerade, B : die Zahl ist kleiner als 5
ohne Kenntnis, dass A eingetreten ist, berechne ich die W. von B zu 4/6; wenn ich weiß, dass A eingetreten ist, gibt es für B nur noch die beiden Fälle 2 oder 4 von den drei Möglichkeiten 2, 4, 6, also ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit von 2/3. P(B|A) = P(B) = 2/3. A und B sind stochastisch unabhängig.

2. Beispiel: A und B sind verschieden.
A : Die Zahl ist gerade, B : die Zahl ist kleiner als 4
hier ist P(B)=3/6 (ohne Information über A), aber mit dieser Information kommt für B nur noch eine Zahl (2) der drei möglichen Kandidaten 2, 4, 6 infrage : P(B|A) = 1/3, A und B sind stochastisch abhängig.

3. Beispiel: A und B sind gleich.
A : die Zahl ist 6.
Ohne Kenntnis, ob A eingetreten ist, berechne ich die W. für B (=A) zu P(A) = 1/6, wenn ich aber weiß, dass A einegtreten ist, ist meine Voraussage "A ist eingetreten !", also P(A|A) = 1. A und A sind abhängig.

4. Beispiel: A und B sind gleich.
A : die Zahl ist kleiner als 7.
Ob mir jemand das Ergebnis des Wurfes verrät oder nicht, ich werde immer zu dem Schluss kommen, dass das Ereignis eingetreten ist : P(A) = P(A|A) = 1. A ist unabhängig zu sich selbst.

Answer 1

2. Ist X ~ binom (12,P) und E(X)/Var(X) = 3/4, so ist E(X) = 3.

Wahr wegen ex falso quodlibet. Es gibt kein \(X\) , dass \(n\)-\(p\)-binomialverteilt mit \(n=12\) und \(\frac{\operatorname E(X)}{\operatorname{Var}(X)} = \frac{3}{4}\) ist.

4. Wenn ein Ereignis A unabhängig von seinem Komplement ist, so ist P(A) entweder 0 oder 1.

Wahr wegen \(P(A\cap\overline{A}) = 0\) und \(P(A)+P(\overline{A})=1\).

Comments

Vielen Dank! Wäre aber X ~ binom (12,P) und E(X)/Var(X) = 1/2, dann auch E(X) = 3 ?

---

\(\frac{1}{1-p}=\frac{1}{2}\iff 1-p=2\iff p=-1\)

---

Also sind sowohl

- X ~ binom (12,P) und E(X)/Var(X) = 3/4, so ist E(X) = 3.

und

X ~ binom (12,P) und E(X)/Var(X) = 1/2, dann auch E(X) = 3.

nicht richtig ?

---

Beide sind richtig.

Die Aussage "Wenn ich im Lotto gewinne, dann mache ich eine Weltreise" ist nur dann gelogen, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

1. Ich gewinne im Lotto.
2. Ich mache keine Weltreise.
   

Die Aussage "Wenn A gilt, dann gilt auch B" kann nur dann falsch sein, wenn A wahr ist und B falsch ist.

Ist X ~ binom (12,P) und E(X)/Var(X) = 3/4, so ist E(X) = 3.

Diese Aussage kann umformuliert werden zu

Wenn X binomialverteilt mit n=12 und E(X)/Var(X) = 3/4 ist, dann ist E(X) = 3.

Damit diese Aussage falsch ist, muss X binomialverteilt mit n=12 und E(X)/Var(X) = 3/4 sein.

Es gibt keine Zufallsgröße, die binomialverteilt mit n=12 und E(X)/Var(X) = 3/4 ist. Die Aussage "X ist binomialverteilt mit n=12 und E(X)/Var(X) = 3/4" ist also nicht wahr. Also ist die Aussage "Wenn X binomialverteilt mit n=12 und E(X)/Var(X) = 3/4 ist, dann ist E(X) = 3." wahr.

---

Tut mir leid, aber ich habe es noch nicht ganz verstanden.

Sind - X ~ binom (12,P) und E(X)/Var(X) = 3/4, E(X) = 3 und

X ~ binom (12,P) und E(X)/Var(X) = 1/2, E(X) = 3 das gleiche ?

---

Nein, sie sind nicht das gleiche.

Answer 2

Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:
\( P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \)

A ist mit sich selbst unabhängig, wenn gilt:
\( P(A \cap A) = P(A)\cdot P(A) \iff P(A) = P(A)^2 \)

Das ist eine primitive Gleichung.