Folgende Betrachtungen gelten für x > 0
f(x) = ln(1+1/x) - 1/(x+1)
lim x→0+ ln(1+1/x) - 1/(x+1) = ln(1+1/0) - 1/(0+1) = ln(∞) - 1 = ∞
lim x→∞ ln(1+1/x) - 1/(x+1) = ln(1+1/∞) - 1/(∞+1) = ln(1) - 0 = 0
Der Graph verläuft also von ∞ nach 0.
Schauen wir uns die Steigung an und bilden f '(x)
f '(x) = 1/(1 + 1/x) * (-1/x^2) + 1/(x + 1)^2 = -1/(x^2 + x) + 1/(x + 1)^2 = -1/(x·(x + 1)^2)
Die Ableitung ist immer negativ weshalb der Graph immer fallend ist.
Der Graph fällt also von ∞ und hat den Grenzwert 0. D.h. erreicht den Grenzwert nie.
Daher ist die Funktion immer > 0.
