Was ist (1+i) hoch 16? Hilfe

Question

Aufgabe:

(1+i) hoch 16 ????

Problem/Ansatz:

Ich muss in der Uni dieses Problem lösen.

Mein Rechenweg wäre folgender gewesen: 1 hoch 16 + i hoch 16 = 1 + (i hoch 4*4) = 1 + (i hoch 4) hoch 4 = 1 + 1 hoch 4 = 1+1 = 2.

Allerdings kommt mit dem Taschenrechner 256 raus. Kann mir irgendwer erklären wie man darauf kommt bzw. was ich falsch gemacht habe?

Answer 1

\((1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i\)

\((1+i)^{16}=[(1+i)^2]^{8}=(2i)^{8}=2^{8}*i^8=256*(i^2)^4=256*(-1)^4=256*[(-1)^2]^2=256\)

Answer 2

Es gilt nicht \((a+b)^n= a^n+b^n\) (binomische Formel kennst Du doch?).

Potenzieren ist bei komplexen Zahlen leichter (hier: leicht) in der Polarform. Wandle die Zahl also um in Polarform (geht ohne TR, Skizze!) und potenziere dann.

Answer 3

(1 + i)^16

= (√2·e^(pi/4·i))^16

= 2^8·e^(4·pi·i)

= 256·1

= 256

Answer 4

$$ \left(1+\textrm{i} \right)^{16} = \\ \left(\left(1+\textrm{i} \right)^2\right)^{8} = \\ \left(2\cdot\textrm{i} \right)^8 = \\ \left(\left(2\cdot\textrm{i} \right)^2\right)^{4} = \\ \left(-4\right)^{4} = \\ 4^4 = 256. $$(Andere Darstellungsformen werden nicht benötigt.)