Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung ist (x1-x2, x2-x3)

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Abbildung

f: R^3 -> R^2 mit f (x1, x2, x3) = (x1-x2, x2-x3)

Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung ist.

Frage: Wie geht man hier vor?

Answer 1

f muss additiv und homogen sein.

Zeige also das gilt:

f(x + y) = f(x) + f(y)

f(k·x) = k·f(x)

Answer 2

Aloha :)

Du kannst hier einzeln die Additivität und die Homogenität prüfen:$$f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)\quad\text{mit }\vec x,\vec y\in\mathbb R^3$$$$f(a\cdot\vec x)=a\cdot f(\vec x)\quad\text{mit } a\in\mathbb R\;;\;\vec x\in\mathbb R^3$$Beides kannst du auch in einer Rechnung kombinieren:$$f(a\cdot \vec x+\vec y)=a\cdot f(\vec x)+f(\vec y)\quad\text{mit }a\in\mathbb R\;;\;\vec x,\vec y\in\mathbb R^3$$Oder du kannst zeigen, dass es eine Abbildungs-Matrix \(\mathbf A\) gibt, sodass$$f(\vec x)=\mathbf A\cdot\vec x\quad;\quad \vec x\in\mathbb R^3\;;\;\mathbf A\in\mathbb R^{2\times3}$$

Die letzte Methode ist meistens am schnellsten:$$f(\vec x)=\binom{x_1-x_2}{x_2-x_3}=x_1\binom{1}{0}+x_2\binom{-1}{1}+x_3\binom{0}{-1}=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0\\0 & 1 & -1\end{array}\right)}_{\eqqcolon\mathbf A}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$