Zeigen Sie... (Infimum und Supremum)

Question

Seien M ⊂ Rⁿ nichtleer und f ∶ M → R beschränkt. Zeigen Sie:

\( \sup_{x,x´\in M} \quad |f(x) - f´(x)| = \sup_M \ f \ - \inf_M \ f \ \)

Könnte mir das jemand erklären? Wenn möglich mit Rechnung

Answer 1

Ich bezeichne mit S das Supremum und mit I, das Infimum von f über M. Dann gilt:

$$\forall x \in M: \quad I \leq f(x) \leq S$$

Also

$$f(x)-f(x') \leq S-I \text{  und } f(x')-f(x) \leq S-I$$

Zusammen

$$\forall x,x' \in M \quad |f(x)-f(x')| \leq S-I \quad (1)$$

Nun betrachten wir ein beliebiges \(d>0\) mit \(2d<S-I\) (der Fall S=I ist trivial. Dazu x,x' mit

$$f(x) \geq S-d \text{  und } f(x') \leq I+d$$

Dann ist

$$f(x)-f(x') \geq S-d-I-d$$

Für \(d \to 0\) folgt die Gleichheit in (1)

Comments

Wie soll man sich das vorstellen, wenn R^n =R^10 ist.

Was ist ein R^10?

Kann man das irgendwie anschaulich machen?