Aufgabe zu beschränkten Mengen

Question

Wie genau löst man diese Aufgabe?

Text erkannt:

Sind die folgenden Teilmengen von \( \mathbb{R} \) beschränkt? Bestimmen Sie jeweils Infimum, Supremum, Maximum und Minimum, sofern diese existieren.
a) (4 P.) \( A:=\left\{x+\frac{1}{x} \mid \frac{1}{2}<x \leq 2\right\} \)
b) (4 P.) \( B:=\left\{x \in \mathbb{R} \mid \exists y \in \mathbb{R}:(x+2)^{2}+4 y^{2}<9\right\} \)
c) (4 P.) \( C:=\left\{\frac{|x|}{|x|+2} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \)

Answer 1

a)  \( A:=\left\{x+\frac{1}{x} \mid \frac{1}{2}<x \leq 2\right\} \)

\(  \frac{1}{2}<x \leq 2 \) ==>  \(  \frac{1}{2} \leq\frac{1}{x} \lt 2 \)

Also jedenfalls beschränkt, z.B. durch 0 und 4.

Minimum ist 2, wird für x=1 erreicht.

Wenn du die Ränder 0,5 und 5 beide dazu nimmst

und auf diesem Intervall die Funktion mit

\( f(x)=x+\frac{1}{x}\) betrachtest, nimmt sie ihr Minimum

bei x=1 an und ihr Maximum bei x=2 und bei x=0,5.

Da x=2 zum Def.bereich des Terms in der

Mengendefinition gehört also für diese Menge

min=2 max=2,5.

b)   \( (x+2)^{2}+4 y^{2}=9 \) ist die Gleichung einer

Ellipse mit den Scheiteln (-5;0) und (1;0) auf der x-Achse.

Wegen " ... < 9 " ist B also das offene Intervall ]-5;1[.

c) Es sind keine negative Zahlen drin, aber die 0,

also min = 0.

Wenn man x von 0 ausgehend immer größer macht, oder

immer kleiner macht, werden die Werte des Terms immer größer

aber überschreiten nie die 1 (also 1 eine obere Schranke.)

und sie kommen da beliebig nahe dran, also sup=1.