Zeigen Sie, dass zwischen je zwei Nullstellen der Funktion f : R → R, x 7→ exp(x) sin(x)−1

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass zwischen je zwei Nullstellen der Funktion f : R → R, x 7→ exp(x) sin(x)−1
mindestens eine Nullstelle der Funktion g : R → R, x 7→ exp(x) cos(x) + 1 liegt.

Problem/Ansatz:

Grafisch ist es mir klar, warum das so ist. Es sieht auch so aus, dass zwischen jeder Nullstelle von f ein Extremwert von g liegt. Nur wie beschreibe ich das mathematisch? Ich weiß, wie man mit dem Satz von Rolle beweisen kann, dass zwischen 2 Nullstellen von f ein Punkt existiert, an dem f'(x) = 0 ist. Aber wie benutze ich das, um zu zeigen, dass dies auch für g gilt? Außerdem habe ich festgestellt, dass f nur Nullstellen hat, wenn der Sinus positiv und ist g nur, wenn der Kosinus negativ ist. Aber das beweist ja nicht, dass sie dazwischen liegen müssen.

Ich hatte auch die Idee die Nullstellen von 0 bis 2pi zu berechnen und mit der Periodizität zu argumentieren, aber die Funktionen sind gar nicht periodisch oder? Es sieht auf dem ersten Blick nur so aus.

Wäre sehr dankbar über Hilfe

Answer 1

Definiere \(h(x)=\sin(x)-\exp(-x)\).
Seien \(u,v\in\R\) mit \(u<v\) und \(f(u)=f(v)=0\).
Dann gilt auch \(h(u)=h(v)=0\).
Nach dem Satz von Rolle existiert (mindestens) ein \(w\in\R\) mit \(w\in(u,v)\) und \(h^\prime(w)=0\).
Es ist also \(\cos(w)+\exp(-w)=0\).
Daraus folgt \(\exp(w)\cos(w)+1=0\) und daraus die Behauptung.

Comments

Danke für deine Antwort. Nur zum Verständnis: h wird daraus hergeleitet, dass man   f(x) = 0 umstellt und sin(x) = exp(-x) bekommt und davon die Differenz bildet oder?

$$ cos(w) + exp(-w) = 0 $$  ist die Ableitung von h mit dem w eingesetzt.

Nur wie kommt man auf den letzten Schritt. Welche Umformungen muss man dazu machen? Wäre sehr nett, wenn du mir das erklären könntest.

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Multipliziere die Gleichung \(\cos(w)+\exp(-w)=0\) auf beiden Seiten mit \(\exp(w)\).