Hi,
ich würde folgendes Vorgehen vorschlagen. Seien
$$ f(x) = e^x \sin(x) - 1 $$ und
$$ g(x) = e^x \cos(x) + 1 $$
(1) Ungefähre Lage der Nullstellen von f(x) und g(x) bestimmen. Das kann man wie folgt machen. \( f(x) = 0 \) ist äquivalent mit \( \sin(x) = e^{-x} \) und \( g(x) = 0 \) ist äquivalent mit \( \cos(x) = -e^{-x} \)
Da die Exponentialfunktion immer positiv ist, sieht man, dass die Nullstellen von \( f(x) \) nur da liegen können, wo der Sinus positiv ist und die Nullstellen von \( g(x) \) nur da liegen können wo der Cosinus negativ ist.
Das ergibt, das für \( f(x) \) die Nullstellen im Intervall \( [2k\pi , (2k+1)\pi] \) und für \(g(x) \) im Intervall \( \left[\frac{4k+1}{2}\pi , \frac{4k+3}{2}\pi\right] \) liegen müssen.
(2) Aus den Gleichungen für die Nullstellen sieht man, dass für größer werdende \( x \) die Nullstellen sich immer mehr den Nullstellen für \( \sin(x) \) und \( \cos(x) \) annähern. Das legt die Vermutung nahe, dass man die Lage der Nullstellen der Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \) noch mehr eingrenzen kann.
Als Beispiel betrachte die Intervalle \( [0 , \frac{\pi}{4} ] \) und \( [\frac{3}{4}\pi , \pi] \) und berechne jeweils an den Intervallgrenzen den Funktionswert von \( \sin(x) - e^{-x} \) als Ergebnis erhält man die Werte \( -1<0, \sin \left( \frac{1}{4}\pi \right) - e^{-\frac{1}{4}\pi} > 0 , \sin \left( \frac{3}{4}\pi \right) - e^{-\frac{3}{4}\pi} > 0 , \sin(\pi) - e^{-\pi} < 0 \) Aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen folgt nun, das in den betrachteten Intervallen jeweils eine Nullstelle liegen muss. Das gleiche macht man nun für die zweite Funktion und verallgemeinert das Ergebnis für Intervalle mit einem beliebigen \( k \). Als Ergebnis erhält man, das die Nullstellen für \( f(x) \) in den Intervallen
$$ \left( 2k\pi , 2k\pi + \frac{\pi}{4} \right) \text{ und } \left( (2k+1)\pi-\frac{\pi}{4} , 2k\pi \right) $$ liegen.
Für die Nullstellen von \( g(x) \) erhält man folgende Intervalle
$$ \left( \frac{4k+1}{2}\pi , \frac{4k+1}{2}\pi+\frac{\pi}{4} \right) \text{ und } \left( \frac{4k+3}{2}\pi-\frac{\pi}{4} , \frac{4k+3}{2}\pi \right) $$
Dei Intervalle überschneiden sich nicht, deswegen wechseln die Nullstellen von \( f(x) \) und \( g(x) \) immer ab, wie behauptet.
Bemerkung:
(1) Man muss nur die positive x-Achse betrachten, da \(|e^{-x}| > 1 \) gilt für \( x < 0 \) somit kann keine Nullstelle auf der negativen x-Achse liegen.
(2) In den betrachteten Intervallen liegen nicht mehr als zwei Nullstellen, weil der Sinus und der Cosinius an den betrachteten Stellen entweder streng monoton wachsend oder fallend ist. Damit kann die Exponentialfunktion diese Graphen nur einmal schneiden. Damit leigen genau zwei Nullstellen in den betrachteten Intervallen.
