Mittelwertsatz Beweis korrekt? e^x ( y - x ) < e^y - e^x < e^y ( y - x )

Question

ist der Beweis korrekt?

Seien x, y reelle Zahlen, x < y und $$f: [x,y] \rightarrow \mathbb{ R }, u \mapsto e^u$$

Nach MWS existiert ein $$x_0 \in (x, y): \frac{ f(y) - f(x) }{ y - x } = \frac{ e^y - e^x }{ y - x } = f'( x_0 ) = e^{ x_0 }$$

Da $$x < x_0 < y$$ folgt

$$e^x < \frac{ e^y - e^x }{ y - x } < e^y$$, also

$$e^x ( y - x ) < e^y - e^x < e^y ( y - x )$$,

was zu zeigen war.


Alles korrekt so?

Danke,

Thilo

Answer 1

Hi, ja das ist so in Ordnung, da ja die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist.

Comments

Ja, stimmt, hätte ich vielleicht dazu schreiben sollen. Das ist sie ja, weil (e^x)' = e^x > 0 für alle x. Danke.