Aufgabe:
Sei \( 0<a<b \) und es sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion, für die gilt:
\( \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int \limits_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0 . \)
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz wäre Beweis durch Widerspruch. Also zu zeigen, dass die Funktion f weder keine noch eine Nullstelle(=NS) hat. Wenn sie keine NS hat, so ist die Funktion nach dem Zwischenwertsatz größer oder kleiner Null für alle x in (a, b). Habe nun in der Lösung nachgeschaut folgendes nicht verstanden:
1) Aber für den Fall f > 0 haben wir den Widerspruch:
\(0 = \int \limits_{a}^{b}f(x)dx \geq \left| b -a \right|min_{z \in(a,b)}f(z)>0\)
Nun wurde der Fall für keine NS durch Widerspruch bewiesen.
Für eine NS: Sei p die einzige NS in (a,b). Dann ist f >0 auf (a,p) und f<0 auf (p,b) oder anders herum.
Jetzt kommt wieder etwas in den Lösungen was ich nicht verstehe:
2) Auf jeden Fall hat die Fkt \(x\rightarrow(x-p)f(x)\) auf ganz (a,b) das gleiche VZ und ist nur Null in p. Dann erhält man den Widerspruch:
\(0\neq \int \limits_{a}^{b}(x-p)f(x)=\int \limits_{a}^{b}xf(x)dx-p\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=0\)
Würde mich freuen, wenn jemand helfen konnte die Formeln von 1 und 2 genauer herunterzubrechen. Um zu verstehen, weshalb dies ein Widerspruch ist.
Liebe Grüße
jsmileman
