Zeigen, dass Funktion mindestens zwei Nullstellen hat

Question

Aufgabe:

Sei $0<a<b$ und es sei $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion, für die gilt:

$\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int \limits_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0 .$

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre Beweis durch Widerspruch. Also zu zeigen, dass die Funktion f weder keine noch eine Nullstelle(=NS) hat. Wenn sie keine NS hat, so ist die Funktion nach dem Zwischenwertsatz größer oder kleiner Null für alle x in (a, b). Habe nun in der Lösung nachgeschaut folgendes nicht verstanden:

1) Aber für den Fall f > 0 haben wir den Widerspruch:

$0 = \int \limits_{a}^{b}f(x)dx \geq \left| b -a \right|min_{z \in(a,b)}f(z)>0$

Nun wurde der Fall für keine NS durch Widerspruch bewiesen.

Für eine NS: Sei p die einzige NS in (a,b). Dann ist f >0 auf (a,p) und f<0 auf (p,b) oder anders herum.

Jetzt kommt wieder etwas in den Lösungen was ich nicht verstehe:

2) Auf jeden Fall hat die Fkt $x\rightarrow(x-p)f(x)$ auf ganz (a,b) das gleiche VZ und ist nur Null in p. Dann erhält man den Widerspruch:

$0\neq \int \limits_{a}^{b}(x-p)f(x)=\int \limits_{a}^{b}xf(x)dx-p\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=0$

Würde mich freuen, wenn jemand helfen konnte die Formeln von 1 und 2 genauer herunterzubrechen. Um zu verstehen, weshalb dies ein Widerspruch ist.

Liebe Grüße
jsmileman

Comments

Du hast nur die Voraussetzungen aufgeschrieben. Könntest du noch klarstellen was zu zeigen ist?

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Man soll beweisen, dass f mindestens zwei Nullstellen in (a,b) hat. So wie der Titel angibt.

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Hallo,

mir scheint noch der Fall zu fehlen, dass f genau eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat - ist natürlich ähnlich zu 1.

Gruß Mathhilf

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Danke Dir lul:

1. habe ich verstanden. In der Aufgabe wurde angenommen/vorgegeben, dass das Integral von a bis b über f(x) = 0 ist. Dies ist wiederum größer gleich als die abgeschätzte (Rechtecks-)Fläche unter f (min (f) * Länge des Intervalls). Das steht aber jetzt im Widerspruch, weil die Rechtseckfläche ja größer sein muss als 0.

Den zweiten Teil bzw. die zweite Gleichung habe ich nicht ganz verstanden.
Vllt. nochmal kurz eine Frage zur Voraussetzung der Annahme der Aufgabenstellung:

$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx = \int \limits_{a}^{b}x*f(x)dx = 0$

Wieso kann man das Integral $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx$ dem Integral $\int \limits_{a}^{b}x*f(x)dx$ gleichsetzen? Sind das nicht zwei unterschiedliche Integral bzw. kommt da nicht was unterschiedliches raus? Oder hat man das einfach gesagt, dass das so ist bzw. das das so gilt?

So nun zum zweiten Teil der Aufgabe:
Lul sagte, dass (x-p)*f(x) außer für x=p immer ungleich 0 ist. Also entweder >0 oder <0. Aber wieso kann ich schreiben:

$0 \neq\int \limits_{a}^{b}(x-p)f(x)dx$ wenn (x-p)*f(x) für p trotzdem 0 ist. Dann würde dass ja nicht stimmen oder?

Die rechte Seite verstehe ich glaube ich:

Wie lul sagte: Laut Voraussetzung sind beide Integrale gleich 0 deshalb ist auch die Summe/die Differenz der Integrale 0. Dies ändert sich ja auch nicht wenn ich vor ein Integral noch einen Vorfaktor schreibe oder? Wie p im obigen Bsp.

Danke für die Hilfe.

LG jsmileman

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Dass die 2 Integrale gleich sind hat man als Voraussetzung angenommen.

2. (x-p)*f(x) hat nur die  (doppelte  Nullstelle x=p ist also sonst immer positiv oder negativ,  eine Integral über so eine Funktion kann nicht 0 sein, daraus folgt dann der Widerspruch.

grüß lul

Answer 1

Hallo

1. Ist ist dir noch klar?  wenn f>0  kannst du die Fläche unter f als das Rechteck  min(f) im Interval *Länge des Intervalls  abschätzen,

2. heir wird benutzt dass p eine Nullstelle ist, (x-p)*f(x) also nur für x=p 0 ist sonst nirgends also bis auf eine Stelle immer ungleich 0 entweder >0 oder <0

also ist (x-p)f(x)>0  für x≠p oder <=0 das Integral darüber also ≠0 aber die Vors. war ja dass die 2 Integrale, die dabei rauskommen 0 sind also auch ihre Summe

klarer?

lul