Binominalkoeffizient definieren und bestimmen

Question

Aufgabe:

a) Was wird nach Definition mit \( \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} \) bezeichnet?

b) Bestimme \( \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} \)

c) Was wird nach Definition mit \( \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} \)  bezeichnet?

d) Bestimme \( \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} \)

Satz:

Es gilt \( \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} \) = und \( \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} \) =

Problem/Ansatz:

Wie lässt sich das definieren bzw. beweisen?

Comments

Hast du in dem Zusammenhang wirklich noch nie was von Fakultäten gehört?

Answer 1

Aloha :)

\(\binom{n}{k}\) ist die Anzahl der \(k\)-elementigen Teilmengen einer \(n\)-elementigen Menge.

Umgangssprachlich könnte man sagen: \(\binom{n}{k}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) Objekte (ohne Zurücklegen) auszuwählen.

zu a) Die Anzahl der Möglichkeiten, von \(n\) Objekten genau \(1\) auszuwählen.

zu b) \(\binom{n}{1}=n\), denn ich kann jedes der \(n\) Objekte auswählen.

zu c) Die Anzahl der Möglickeiten von \(n\) Objekten genau alle \(n\) Objekte auszuwählen.

zu d) \(\binom{n}{n}=1\), denn ich habe genau \(1\) Möglichkeit, alle Objekte auszuwählen.

Ein "Sonderfall" ist noch \(\binom{n}{0}\). Jede \(n\)-elementige Menge hat genau eine \(0\)-elementige Teilmenge, nämlich die leere Menge. Man hat dann zwar nichts ausgewählt, aber die leere Menge ist halt auch eine Menge. Daher definiert man \(\binom{n}{0}\coloneqq1\).

Answer 2

Hallo

a) die Binomialkoeffizienten sind durch eine Formel mit Fakultäten bestimm. b) als Koeffizienten wenn man (a+b)^n bildet, c Statistisch Möglichkeiten unter n Objekten  auszusuchen

Ihr hattet eine der Definitionen oder siehe in wiki

dann setz ein!

lul