Aufgabe:
Zeige, dass $$\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \cdot \prod \limits_{i=0}^{\frac{n-k}{2}-1}(2i+1)$$ für positive ganze Zahlen n und k (n≥k) durch n teilbar ist, wenn...
1. ... n ungerade ist.
2. ... n und k die gleiche Parität aufweisen.
Problem/Ansatz:
Offensichtlich ist, dass dieses Produkt den Faktor n beinhaltet. Zu zeigen ist daher nur, dass dieses n nicht herausgekürzt wird. Für viele Werte gilt das auch nur für den Binominalkoeffizienten, aber beispielsweise für n=9 und k=3 nicht (sonst wäre die Aufgabe auch zu einfach ;-) Hier muss also der restliche Teil des Produkts reinspielen. Ich weiß allerdings nicht, wie das konkret aussehen könnte.
Hat jemand eine Idee, wie man zeigen kann, dass n nicht herausgekürzt wird? Vielen Dank!
