Aufgabe:
Ein Nachtwächter muss im Dunkeln eine Tür öffnen. Er trägt an seinem Schlüsselbund n ∈ N Schlüssel von denen nur einer passt. Der Nachtwächter probiert zufällig einen Schlüssel nach dem anderen durch, ohne dabei einen Schlüssel zweimal zu verwenden. Es bezeichne X die Anzahl der notwendigen Versuche bis der Nachtwächter den richtigen Schlüssel gefunden hat.
(a) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) an, um dieses Zufallsexperiment zu beschreiben.
(b) Beschreiben Sie X als Zufallsvariable auf Ω und bestimmen Sie P(X = i) fur alle i = 1, . . . , n.
Wenn der Nachtwächter betrunken ist, bringt er die Schlüssel nach jedem Versuch wieder durcheinander, ohne sich zu merken, welche Schlüssel er schon ausprobiert hat. Außerdem hält er in jedem Versuch mit Wahrscheinlichkeit q ∈ (0, 1) den Schlüssel falsch herum (und bemerkt es gar nicht).
(c) Bestimmen Sie unter diesen Gegebenheiten die Verteilung von X.
Problem/Ansatz:
Als Wahrscheinlichkeitsraum habe ich:
Ω = {1,2,3,...,n} mit P(x) = \( \frac{1}{n} \), kommt das schon mal hin? Bei der (b) und (c) habe ich leider absolut keine Ahnung und wäre deshalb für jede Lösung/Hilfe sehr dankbar!
