Muss ein Untervektorraum einen Nullvektor enthalten?

Question

Aufgabe:

Muss ein Untervektorraum einen Nullvektor enthalten?

Problem/Ansatz:

Laut Definition im Skript steht, dass:

1) für beliebige v,w aus U gilt, dass auch v+w in U ist

2) für a aus K gilt, dass a*v auch in U ist

Aber ich sehe öfter auch, dass der Nullvektor enthalten sein muss. Aber diese Voraussetzungen muss doch durch die obigen Bedingungen nicht gegeben sein oder?

Comments

Untervektorräume dürfen nicht leer sein. Kontrolliere eure Definition dahingehend nochmals. Man findet also stets einen Vektor u darin. Dann ist nach den Forderungen (-1)*u und damit auch u+(-1)*u=0 im UVR.

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dass der Nullvektor enthalten sein muss

ist für U≠∅ eine Folgerung aus den beiden oben angeführten Bedingungen und muss deshalb nicht explizit zusätzlich gefordert werden.
Die Bedingung wird wohl für Leute hingeschrieben, die Aufgaben der Art "Ist U ein Untervektorraum ?" dann besonders leicht mit "Nein" beantworten können, wenn sie o∉U nachweisen.

Es reicht dann übrigens auch die eine einzige Bedingung, dass mit v und w auch v + α·w für alle α∈K in U enthalten ist, um U als Untervektorraum nachzuweisen.

Answer 1

Muss ein Untervektorraum einen Nullvektor enthalten?

Ja, aber es gibt genau einen; deshalb :

Ein Untervektorraum muss den Nullvektor enthalten !

Comments

aber es gibt genau einen könnte falsch aufgefasst werden.

Es gibt zwar nur genau eine leere Menge, also die Menge ℚ\ℚ ist dieselbe leere Menge wie die Menge meiner Schuhe geschnitten mit der Menge meiner Hosen
aber
der Nullvektor im VR der quadratischen 2×2 Matrizen ist ein anderer als der Nullvektor im Raum der Lösungen von f' + f = 0,
der Nullvektor in ℝ^3 ist verschieden vom Nullvektor in ℝ^2

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Ok,

Es gibt in jedem Vektorraum genau einen.

Answer 2

Aloha :)

Dein Skript unterschlägt eine Eigenschaft eines Unterraums \(U\) über einem Körper \(K\):

$$(1)\quad U\ne\{\}$$$$(2)\quad \vec u, \vec v\in U\implies \vec u+\vec v\in U\quad\text{(abgeschlossen bezüglich Addition)}$$$$(3)\quad a\in K, \vec v\in U\implies a\cdot \vec v\in U\quad\text{(abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation)}$$

Nach Eigenschaft (1) darf der Unterraum nicht leer sein. Wir können daher ein Element \(\vec u_0\in U\) auswählen. Für dieses Element gilt dann wegen der Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation:$$\vec u_0\in U\implies 0\cdot\vec u_0\in U\implies \vec 0\in U$$

Im Umkehrschluss heißt das, der Nullvektor \(\vec 0\) muss in jedem Unterraum enthalten sein.

[PS: Ein Vektorraum ohne Urpsrung würde auch wenig Sinn machen.]