Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis, dass für alle reellen Zahlen a und b gilt:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis, dass für alle reellen Zahlen \( a \) und \( b \) gilt:

\( \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} \text . \)

Comments

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\( \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \le \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} \)

Da scheint mir eine Fallunterscheidung erforderlich zu sein (a und b haben gleiche bzw. entgegengesetzte Vorzeichen bzw. eine der beiden Zahlen ist 0).

Im Fall a>0 und b>0 können wir die Betragsstriche weglassen.

Der direkte Beweis lautet dann:

Es gilt \( \frac{a}{1+a} > \frac{a}{1+a+b} \)

und \( \frac{b}{1+b} > \frac{b}{1+a+b} \)

Die Addition beiden Ungleichungen liefert

\( \frac{a}{1+a} +\frac{b}{1+b} > \frac{a+b}{1+a+b} \)

Answer 1

Hier brauch man überhaupt keinen Widerspruchsbeweis.

Aber man kann natürlich von hinten durch die Brust ins Auge einen Widerspruchsbeweis daraus machen. Zum Beispiel so:
Wir wissen:

(1) \(|a+b| \leq |a| + |b|\)

(2) \(\frac x{1+x}= 1-\frac 1{1+x}\) ist streng monoton wachsend für \(x\geq 0\)

Wir \( \color{red}{\text{nehmen nur mal an }}\), dass \( \frac{|a+b|}{1+|a+b|} {\color{red}{>}} \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} \).

Wir wissen aber folgendes:
\(\frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} \geq  \frac{|a|}{1+|a|+|b|}+\frac{|b|}{1+|b|+|a|}=\ldots\)

\(\ldots = \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} \stackrel{(1),(2)}{\color{blue}{\geq}} \frac{|a+b|}{1+|a+b|}\)

Das ist ein \(\color{blue}{\text{Widerspruch zur}}\) \(\color{red}{\text{Annahme}}\).