Es gilt fi ο fi = fi für alle i. und Es gilt V = Bild(f1)⊕....⊕Bild(fm).

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Seien f₁,..., f_m V → V lineare Abbildungen, die jeweils nicht die
Nullabbildung 0V : V → V : v ↦ 0 sind, mit
f₁(v) + ... + f_m(v) = v für alle v ∈ V und f_i ο f_j = f_j ο f_i = 0V für alle i ≠ j:
Zeigen Sie:
(a) Es gilt f_i ο f_i = f_i für alle i.
(b) Es gilt V = Bild(f₁)⊕....⊕Bild(f_m).

Problem/Ansatz:

a) ich weiß hier nur das wenn man zwei identische Abbildungen verknüpft könnte man es auch so aufschreiben als f_i² also (f₁(v) + ... + f_m(v))² nur weiß ich jetzt nicht wie ich zeige das es f_i ist vielleicht weil alle Elemente 0 werden?

b) Hier fehlt mir leider komplett der Ansatz ich glaube man kann hier das Minimalpolynom vielleicht mit einbeziehen weiß leider jedoch nicht wie

Vielen Dank

Comments

muss es bei b) so sein das die Bilder invariante Unterräume von V sein müssen oder so?

Answer 1

Hallo,

1. Es gilt für alle \(v \in V\) und i:

$$f_i(v)=f_i\left( \sum_{j=1}^mf_j(v)\right) = \sum_{j=1}^m f_i \circ f_j(v)=f_i \circ f_i(v)$$

2. Jedes \(v \in V\) liegt in der angegebenen Summe:

$$v=\sum_{j=1}^m w_j \text{  mit } w_j=f_j(v)$$

Diese Darstellung ist eindeutig. Denn wenn

$$0=\sum_{j=1}^m w_j \text{  mit } w_j=f_j(v_j)$$

dann folgt für all i:

$$0=f(0)=\sum_{j=1}^m f_i \circ f_j(v_j)=f_i \circ f_i(v_i)=f_i(v_i)=w_i$$

Gruß Mathhilf