A ist kompakt ⇔ für alle A-treffende Familien {Fi : i∈I} abgeschlossener Teilmengen Fi⊆X gilt: A∩(∩i∈ I Fi) ≠ ∅

Question

Aufgabe:

Sei R eine Menge. Sei I eine (möglicherweise unendliche) Indexmenge und für jedes i ∈ I sei Si
eine Menge. Die Familie {S_i : i ∈ I} aller Mengen Si heiße R-treffend, wenn Folgendes gilt:

Für alle n und i₁ i₂...i_n ∈ I gilt R ∩ S₁ ∩ S₂ ∩...∩Sn ≠  ∅

Seien (X, d) ein metrischer Raum und A ⊆ X. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
• A ist kompakt.
• Für alle A-treffende Familien {F_i : i∈I} abgeschlossener Teilmengen F_i⊆X gilt: A∩(∩_{i∈ I} F_i)≠  ∅

Problem/Ansatz:

Ich glaube verstehe die Aussage nicht so ganz.

Heißt eine Familie A treffend, wenn für jede Menge S aus der Familie Si, gilt, dass der Durchschnitt von A und allen Teilmengen von S nicht die leere Menge trifft?

Oder heißt eine Familie A treffend, wenn der Durchschnitt jeder Menge aus der Familie mit A nicht die leere Menge ist?

Und eas genau bedeutet die zu beweisende Behauptung?

Danke schonmal für eure Hilfe.

Comments

Welche Definition von Kompaktheit verwendet ihr denn? Das ist schliesslich essentiell um zu wissen, welche Äquivelnz gezeigt werden soll.

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Unsere Definition lautet:

Sei (X,d) ein metrischer Raum und A⊂X. Dann heißt A kompakt, falls jede offene Überdeckung von A eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Answer 1

Hallo,

erstmal zu deinen Fragen: \(\{S_i|i\in I\}\) heißt \(A\)-treffend, wenn für jede endliche Auswahl \(S_{i_1},...,S_{i_n}\) gilt, dass der ("gleichzeitige") Schnitt aller dieser Mengen mit \(A\) nicht leer ist (als Formel: \(A\cap\bigcap_{j=1}^nS_{i_j}\neq\emptyset\)). Insbesondere ist also jeder Schnitt von \(A\) mit einer beliebigen Menge \(S_i\) aus der Familie nicht leer (das reicht aber nicht um \(A\)-treffend zu sein). Allerdings muss nicht gelten, dass der ("gleichzeitige") Schnitt von \(A\) mit allen diesen \(S_i\,;\,i\in I\) ungleich der leeren Menge ist (d.h. \(A\cap\bigcap_{i\in I}S_i\neq\emptyset\) muss nicht gelten).
Die Behauptung sagt nun, dass \(A\) genau dann kompakt ist, wenn gilt \(A\cap\bigcap_{i\in I}S_i\neq\emptyset\) tatsächlich für alle Familien \(\{S_i|i\in I\}\) gilt wobei die \(S_i\) dazu abgeschlossene Teilmengen von \(X\) sein müssen.
Ich hoffe das hilft, ich habe leider kein gutes Beispiel, was die Definition illustriert. Vielleicht hilft auch der Beweis um den Begriff besser zu verstehen.

Bei dem Beweis kann man beide Richtungen per Widerspruch zeigen:

1)\(\Rightarrow\)2): Sei \(\{F_i|i\in I\}\) eine \(A\)-treffende Familie von abgeschlossenen Teilmengen. Angenommen es gilt \(A\cap\left(\bigcap_{i\in I}F_i\right)=\emptyset\), dann gibt es für jedes \(a\in A\) ein \(i_a\in I\) sodass \(a\in F_{i_a}^C\). Wegen Kompaktheit existieren dann also \(a_1,...,a_n\in A\) sodass $$A\subseteq \bigcup_{j=1}^nF_{i_{a_j}}^C$$
Das ist ein Widerspruch dazu, dass \(\{F_i|i\in I\}\) \(A\)-treffend ist.

2)\(\Rightarrow\)1): Seien \((U_i)_{i\in I}\) offene Mengen mit $$A\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i$$

Zu zeigen ist, dass es dann eine endliche Teilüberdeckung gibt.
Angenommen es gibt keine endliche Teilüberdeckung. Dann gilt für alle \(i_1,...,i_n\in I\), dass $$A\not\subseteq\bigcup_{j=1}^nU_{i_j}$$

Das heißt es existiert ein \(a\in A\) mit \(a\in\bigcap_{j=1}^nU_{i_j}^C\).
Demnach ist also \(\{U_i^C|i\in I\}\) eine \(A\)-treffende Familie abgeschlossener Teilmengen und nach Voraussetzung folgt $$A\cap\left(\bigcap_{i\in I}U_i^C\right)\neq\emptyset$$
Also gibt es ein \(a\in A\) sodass \(a\not\in U_i\) für alle \(i\in I\). Das ist ein Widerspruch zu \(A\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i\).

Ich habe nicht jedes Detail angegeben, falls du also noch fragen hast helfe ich gerne weiter.

LG Dojima

(Die Argumente und damit der Satz sollten auch allgemeiner in Toplogischen Räumen gelten)

Comments

Vielen Dank, ich glaube ich habe es jetzt verstanden