Wie zeigt man (v+U) ∩ (v'+U') ≠ ∅ ⇔ v'-v ∈ U+U'?

Question

Es sei V ein Vektorraum und seien U und U'  zwei lineare Unterräume von V. Wie zeigt man dass für v,v'∈V gilt:

(v+U) ∩ (v'+U') ≠ ∅  ⇔  v'-v ∈ U+U'

Answer 1

(v+U) ∩ (v'+U') ≠ ∅

==>   Es gibt ein z ∈ V mit

         z ∈  v+U    und   z ∈ v'+U'

==>  Es gibt u1 ∈ U und  u2 ∈ U ' mit

          z= v + u1   und   z = v ' + u2

==>    Es gibt u1 ∈ U und  u2 ∈ U'  mit

             v + u1   =   v ' + u2

==>        v -   v ' =  -u1  +  u2

Mit u1 ist auch - u1 aus U, also ist    v'-v ∈ U+U'

Umgekehrt einfach rückwärts argumentieren:

            v'-v ∈ U+U'

==>    Es gibt u1 ∈ U und  u2 ∈ U ' mit

               v -   v ' =  u1  +  u2

==>         v  +  (- u1 )  =   v ' + u2

Mit u1 ist auch - u1 aus U, also ist

                z =   v  +  (- u1 )  =   v ' + u2

sowohl in (v+U) als auch in   (v'+U') .