Sinus in Cosinus und umgekehrt - Beweis

Question

Aufgabe:

Seien α, β, γ die Winkel eines Dreiecks. Zeigen Sie, dass dann gilt:

sinα + sinβ + sinγ = 4cos α/2 • cosβ/2 • cosγ/2

cosα + cosβ + cosγ = 1+4sinα/2 • sinβ/2 • sinγ/2

Problem/Ansatz:

Irgendwie weiß ich nicht so recht, wie ich das beweisen soll...mir fehlt ein Ansatz...

Answer 1

$$\boxed{(I)\quad sin(a) + sin(b) + sin(c)} \\ sin(a) + sin(b) = 2*sin(\frac{a+b}{2})*cos(\frac{a-b}{2})\\ \boxed{(I)\quad \bold { 2*sin(\frac{a+b}{2})*cos(\frac{a-b}{2}) }  + sin(c)} \\ sin(c) = 2*sin(\frac{c}{2})*cos(\frac{c}{2}) \\ \boxed{(I)\quad2*sin( \frac{a+b}{2})*cos(\frac{a-b}{2}) + \bold {2*sin(\frac{c}{2})*cos(\frac{c}{2})}} \\ \frac{a+b}{2} = \frac{180-c}{2} = 90 - \frac{c}{2}\\ \boxed{(I)\quad2*sin(\bold { 90 - \frac{c}{2}})*cos(\frac{a-b}{2}) + 2*sin(\frac{c}{2})*cos(\frac{c}{2})} \\ sin(90 - \frac{c}{2}) = cos(\frac{c}{2}) \\ \boxed{(I)\quad2* \bold {cos(\frac{c}{2})} *cos(\frac{a-b}{2}) + 2*sin(\frac{c}{2})*cos(\frac{c}{2})} \\ \frac{c}{2} = 90 -\frac{a+b}{2}\\ \boxed{(I)\quad2*cos(\frac{c}{2})*cos(\frac{a-b}{2}) + 2*sin(\bold {90 -\frac{a+b}{2} })*cos(\frac{c}{2})} \\ sin(90 -\frac{a+b}{2}) = cos(\frac{a+b}{2}) \\ \boxed{(I)\quad2*cos(\frac{c}{2})*cos(\frac{a-b}{2}) + 2*\bold {cos(\frac{a+b}{2})} *cos(\frac{c}{2})} \\2*cos(\frac{c}{2}) \text{ ausklammern} \\\boxed{(I)\quad2*cos(\frac{c}{2})*( cos(\frac{a-b}{2}) + cos(\frac{a+b}{2}))} \\ cos(x)+cos(y)=2*cos( \frac{x+y}{2})*cos( \frac{x-y}{2})\\ x=\frac{a+b}{2} ; y=\frac{a-b}{2} \\ cos(\frac{a+b}{2})+cos(\frac{a-b}{2})=2*cos(\frac{a}{2})*cos(\frac{b}{2})\\ \boxed{(I)\quad 4*cos(\frac{c}{2})*cos(\frac{a}{2}) * cos(\frac{b}{2})} \\$$

Die andere Aufgabe müsste ähnlich zu lösen sein.

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