Sind alle Funktionen der Form f(x)=mx^3+nx^2 surjektiv?

Question

Aufgabe:

Wenn m und n ∈R∖{0} sind und f von R nach R abbildet.

Sind alle Funktionen der Form f(x)=mx³+nx² immer injektiv und immer surjektiv?

Problem/Ansatz:

Ich hätte gesagt, das eine solche Funktion nicht immer injektiv ist, aber immer surjektiv.

Answer 1

Das hätte ich auch gesagt.

Comments

Danke!

Und für alle Funktionen der Form f(x)= msin(x) + ncos(x)

für m,n∈R∖{0} und R nach R

würde beides nicht stimmen. Also nicht immer injektiv und nicht immer surjektiv oder?

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Ja, das passt so.

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Niemand lässt sich gern die Worte im Mund umdrehen, aber manchmal wird eine Aussage dann besser.

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten Funktionen der Form:$$f\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,x\mapsto f(x)=m\cdot x^3+n\cdot x^2\quad\text{mit }n,n\in\mathbb R^{\ne0}$$

Zur Beurteilung der Injektivität wählen wir \(m=1\) und \(n=-1\). Das liefert uns die Funktion \(f(x)=x^3-x^2\). Wegen \(f(0)=0\) und \(f(1)=0\). Wird der Zielwert \(0\) doppelt getroffen, sodass die Funktion nicht injektiv ist.

Zur Beurteilung der Surjektivität überlegen wir uns, dass alle Funktionen der obigen Form stetig sind und ihre Funktionswerte für \(x\to\pm\infty\) gegen \(\pm\infty\) für postive \(m\) bzw. \(\mp\infty\) für negative \(m\) divergieren. Daher wird jeder reelle Zielwert getroffen. Funktionen dieses Typs sind daher surjektiv.