Zeigen Sie mit Hilfe der Eulerschen Formel:

Question

Aufgabe: Zeigen Sie mit Hilfe der Eulerschen Formel:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

3. Zeigen Sie mit Hilfe der Eulerschen Formel:
a) \( \sin (2 x)=2 \sin x \cos x \)
b) \( \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \)
c) \( \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1 \)
d) \( \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \)

Answer 1

a) und d) bekommst du mit dem Ansatz:

\( e^{2ix} =  (e^{ix})^2     \) Potenzgesetz

<=>  \( cos(2x) + i \cdot sin(2x) =  (cos(x) + i \cdot sin(x))^2    \)  Eulerformel

Dann rechts binomische Formel

<=>  \( cos(2x) + i \cdot sin(2x) =  cos(x)^2 +2 i \cdot cos(x) \cdot sin(x)- sin(x)^2      \)

Dann vergleichen:

Gleiche Realteile ==>  \( cos(2x)  =  cos(x)^2 - sin(x)^2 \)

Gleiche Imaginärteile ==> \( sin(2x) =  2  \cdot cos(x) \cdot sin(x)  \)