Zeigen Sie, dass die gegebene Gleichung in einer geeigneten Umgebung eines dieser Punkte z als Funktion von x und y …

Question

Text erkannt:

Gegeben ist die Gleichung
$x^{2} \ln y+z y^{3}=z^{4}$
(a) Ermitteln Sie alle Punkte mit $x=y=1$, welche die Gleichung erfüllen.
(b) Zeigen Sie, dass die gegebene Gleichung in einer geeigneten Umgebung eines dieser Punkte $z$ als Funktion von $x$ und $y$ definiert.
Ermitteln Sie die Ableitung dieser Funktion.
(c) Wird durch die gegebene Gleichung in einer geeigneten Umgebung des Punktes in (b) auch
i. $x$ als Funktion von $y$ und $z$,
ii. $y$ als Funktion von $x$ und $z$
definiert? Begründen Sie Ihre Antworten!

Hinweis: Formen Sie die Gleichung zuerst so um, dass Sie den Satz über implizite Funktionen anwenden können.

Aufgabe: wie rechnet man diese Aufgabe? Danke im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns die Gleichung:$\quad x^2\ln y+zy^3=z^4$

zu a) Wenn wir $x=1$ und $y=1$ fest halten, bedeutet dies für $z$:$$\small1^2\cdot\ln1+z\cdot1^3=z^4\implies z=z^4\implies z^4-z=0\implies z(z^3-1)=0\implies z=0\,\lor\;z=1$$Mit $x=y=1$ erfüllen daher nur die beiden Punkte $A(1|1|0)$ und $(B(1|1|1)$ die Gleichung.

zu b) Wir definieren uns eine konstante Hilfsfunktion $h$:$$h(x;y;z(x;y))=x^2\ln y+zy^3-z^4=0$$Da diese Funktion stets konstant ist, verschwindet auch ihre Ableitung:$$\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}=\frac{\partial h}{\partial(x;y)}+\frac{\partial h}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial(x;y)}=\begin{pmatrix}\frac{\partial h}{\partial x} & \frac{\partial h}{\partial y}\end{pmatrix}+\frac{\partial h}{\partial z}\cdot\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\ln y & \frac{x^2}{y}+3y^2z\end{pmatrix}+\left(y^3-3z^3\right)\cdot\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}$$

Sowohl für $A(1|1|0)$ als auch für $B(1|1|1)$ ist der Faktor $\frac{\partial h}{\partial z}=(y^3-3z^3)$ invertierbar, also $\ne0$, sodass wir die Gleichung nach $\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}$ umstellen können.

Da wir die Umgebung eines Punktes wählen sollen, nehmen wir $A(1|1|0)$:$$\begin{pmatrix}0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1\end{pmatrix}$$

Die Ableitung der Funktion $z=z(x;y)$ bei $A(1|1|0)$ ist also: $\,\operatorname{grad}z(1;1)=\binom{0}{-1}^T$.

zu c) Wir haben in (b) gesehen, dass $\frac{\partial h}{\partial z}\ne0$ sein musste, damit in einer Umgebung einer der beiden Punkte $A(1|1|0)$ oder $B(1|1|1)$ die Koordinate $z=z(x;y)$ mit Hilfe der beiden anderen Koordinaten ausgedrückt werden konnte.

Nach analoger Rechnung muss $\frac{\partial h}{\partial x}=2x\ln y$ für $A(1|1|0)$ oder $B(1|1|1)$ von Null verschieden sein, damit $x=x(y;z)$ geschrieben werden kann. Das ist jedoch nicht der Fall, daher kann die Funktionsgleichung von ganz oben an beiden Punkten nicht lokal nach $x$ aufgelöst werden.

Jedoch ist $\frac{\partial h}{\partial y}=\frac{x^2}{y}+3y^2z$ sowohl für $A(1|1|0)$ als auch für $B(1|1|1)$ von Null veschieden, sodass in der Nähe beider Punkte eine Darstellung der Form $y=y(x;z)$ existiert.

Answer 2

Aufgabe: wie rechnet man diese Aufgabe? Danke im Voraus!

a) rechnet man, indem man für x und y jeweils 1 einsetzt und die enstandene Gleichung nach z auflöst.

Schaffst du 1² * ln(1) + z*1³ = z⁴?