Aloha :)
Gegeben ist uns die Gleichung:\(\quad x^2\ln y+zy^3=z^4\)
zu a) Wenn wir \(x=1\) und \(y=1\) fest halten, bedeutet dies für \(z\):$$\small1^2\cdot\ln1+z\cdot1^3=z^4\implies z=z^4\implies z^4-z=0\implies z(z^3-1)=0\implies z=0\,\lor\;z=1$$Mit \(x=y=1\) erfüllen daher nur die beiden Punkte \(A(1|1|0)\) und \((B(1|1|1)\) die Gleichung.
zu b) Wir definieren uns eine konstante Hilfsfunktion \(h\):$$h(x;y;z(x;y))=x^2\ln y+zy^3-z^4=0$$Da diese Funktion stets konstant ist, verschwindet auch ihre Ableitung:$$\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}=\frac{\partial h}{\partial(x;y)}+\frac{\partial h}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial(x;y)}=\begin{pmatrix}\frac{\partial h}{\partial x} & \frac{\partial h}{\partial y}\end{pmatrix}+\frac{\partial h}{\partial z}\cdot\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\ln y & \frac{x^2}{y}+3y^2z\end{pmatrix}+\left(y^3-3z^3\right)\cdot\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}$$
Sowohl für \(A(1|1|0)\) als auch für \(B(1|1|1)\) ist der Faktor \(\frac{\partial h}{\partial z}=(y^3-3z^3)\) invertierbar, also \(\ne0\), sodass wir die Gleichung nach \(\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}\) umstellen können.
Da wir die Umgebung eines Punktes wählen sollen, nehmen wir \(A(1|1|0)\):$$\begin{pmatrix}0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1\end{pmatrix}$$
Die Ableitung der Funktion \(z=z(x;y)\) bei \(A(1|1|0)\) ist also: \(\,\operatorname{grad}z(1;1)=\binom{0}{-1}^T\).
zu c) Wir haben in (b) gesehen, dass \(\frac{\partial h}{\partial z}\ne0\) sein musste, damit in einer Umgebung einer der beiden Punkte \(A(1|1|0)\) oder \(B(1|1|1)\) die Koordinate \(z=z(x;y)\) mit Hilfe der beiden anderen Koordinaten ausgedrückt werden konnte.
Nach analoger Rechnung muss \(\frac{\partial h}{\partial x}=2x\ln y\) für \(A(1|1|0)\) oder \(B(1|1|1)\) von Null verschieden sein, damit \(x=x(y;z)\) geschrieben werden kann. Das ist jedoch nicht der Fall, daher kann die Funktionsgleichung von ganz oben an beiden Punkten nicht lokal nach \(x\) aufgelöst werden.
Jedoch ist \(\frac{\partial h}{\partial y}=\frac{x^2}{y}+3y^2z\) sowohl für \(A(1|1|0)\) als auch für \(B(1|1|1)\) von Null veschieden, sodass in der Nähe beider Punkte eine Darstellung der Form \(y=y(x;z)\) existiert.
