Wie berechne ich den links- und rechtsseitigen Limes (ohne Hopital)?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

a) Seien \( p, q \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) und \( a, b \in \mathbb{R} \). Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls vorhanden, indem Sie jeweils den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert bestimmen:
i) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{p}-1}{x^{q}-1} \),

Problem/Ansatz:

habe mir einige Überlegungen gemacht aber fühlt sich nicht exakt an. Kann man diese Aufgabe überhaupt exakt lösen?

Comments

a und b haben anscheinend in der vorliegenden Aufgabe nichts verloren .....

Und dann der Spezialfall mit  p = q :

In diesem Fall stimmen offensichtlich beide (einseitigen) Grenzwerte überein und ergeben insgesamt den (beidseitigen) Grenzwert  1 .

Answer 1

Mach mal Fallunterscheidungen.

Für p=q sind offenbar beide Grenzwerte 1.

Für die anderen Fälle betrachte \(  \frac{x^{p}-1}{x^{q}-1} \) für x=1+h

\(  \frac{(1+h)^{p}-1}{(1+h)^{q}-1} \)

\(  = \frac{1+ph+\frac{p(p-1)}{2}h^2 + \dots + h^p-1}{1+qh+\frac{q(q-1)}{2}h^2 + \dots + h^q-1} \)

\(  = \frac{ph+\frac{p(p-1)}{2}h^2 + \dots + h^p}{qh+\frac{q(q-1)}{2}h^2 + \dots + h^q} \)

Dann kannst du einmal das h kürzen und den restlichen Term sowohl für

h<0 als auch für h>0 ( links- bzw. rechtsseitig) betrachten.

Zur Kontrolle kannst du ja mit De Hospital vergleichen.

Answer 2

Da \(p,q \in \N\), kannst du die berühmte binomische Formel benutzen:

\(x^n-1 = (x-1)(x^{n-1} + \cdots + x + 1) = (x-1)\sum_{k=0}^{n-1}x^k\)

Das wenden wir jetzt für \(n=p,q\) an:

\(\frac{x^p-1}{x^q-1} = \frac{(x-1)\sum_{k=0}^{p-1}x^k}{(x-1)\sum_{k=0}^{q-1}x^k}\stackrel{x\neq 1}{=} \frac{\sum_{k=0}^{p-1}x^k}{\sum_{k=0}^{q-1}x^k}\stackrel{x\to 1}{\longrightarrow}\frac pq\)