Lösung zu Gleichungssystem im Z3

Question

Aufgabe:

Ich soll folgendes Gs über Z3 lösen:

x₁ + x₂ − x₃ = 1
x₁ − x₂ − x₃ = −1
x₁ + x₃ = −1
x₂ + x₃ = −1

Problem/Ansatz:

Ich habe es erstmal umgeschrieben und in Zeilenstufenform gebracht:

1 1 -1  | 1

1 -1 -1 |-1

1 0  1  |-1

0 1  1  |-1

ich hab das so lange umgestellt bis ich darauf gekommen bin:

1 1 -1 | 1

0 -1 2 |-2

0 -3 2 |-4

0 0 3 | -3

dann mod 3 gerechnet:

1 1 2 | 1

0 2 2 | 1

0 0 2 | 2

0 0 0 | 0

und komme auf diese Gleichungen:

2x₃ = 2

2x₂ + 2x₃ = 1    =   2x₃ + 2 = 1       2x₃ = 2

x₁ + x₂ + 2x₃ = 1     = x₁ + x₂ + 2 = 1                 x₁+x₂=2

Jetzt bin ich mir nur sehr unsicher, ob ich die Lösungen noch weiter zerlegen kann, da ich im z3 ja z.B. 2x₂ nicht durch 2 teilen darf. Also wie genau bringe ich das jetzt zu Ende?

Answer 1

da ich im z3 ja z.B. 2x2 nicht durch 2 teilen darf

Doch, darfst du, es ist ja 2≠0  und in einem Körper

kannst du durch alle, die nicht 0 sind, teilen.

Answer 2

Schonmal gut, dass Du soweit gekommen bist.

Du kannst durchaus in Z3 durch 2 teilen, Z3 ist ein Körper. Durch 2 teilen heißt mit \(2^(-1)\) multiplizieren. Das mult. Inverse zu 2 ist wieder 2 (denn \(2\cdot 2=4 \equiv 1\)).

Die Gleichung \(2x_3=2\) kann man aber auch durch scharfes Hinsehen schon mit \(x_3=1\) lösen.

Damit solltest Du komplett durchkommen. Mach am Ende sicherheitshalber noch die Probe mit dem LGS.

Comments

Natürlich, Dankeschön!

Jetzt wo man es aufgezeigt bekommt ist es total logisch, aber dieses ganze modulo rechnen verwirrt mich noch etwas.

Es scheint so, als wären alle ausdrücke = 1, was auch im der Eingangstabelle übereinstimmt.

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Reine Übungssache, man gewöhnt sich dran.

Dein Ergebnis sollte stimmen.

Answer 3

Beachte, dass in \(\Z_3\) gilt: \(1+1+1=0\)

Jetzt addiere die ersten 3 Gleichungen und du erhältst

\(-x_3 = -1\)

Den Rest überlasse ich dir.