Folgen reeller Zahlen

Question

Kann mir bitte einer bei dieser Aufgabe weiterhelfen, ich komme gar nicht klar damit.

Text erkannt:

Seien \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) \) Folgen reeller Zahlen mit den folgenden Eigenschaften:
(i) Es gibt ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \), so dass \( a_{n} \geq b_{n} \) für alle \( n \geq n_{0} \).
(ii) Es gibt ein \( b \in \mathbb{R} \) mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b \).

Zeigen Sie, dass es für alle \( \varepsilon>0 \) ein \( N \in \mathbb{N} \) gibt, so dass für alle \( n \geq N \) gilt: \( a_{n} \geq b-\varepsilon \).

Comments

Das ist eine direkte Folgerung aus der "Epsilon-Defintion" von Konvergenz.

Answer 1

Es gibt ein \( b \in \mathbb{R} \) mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b \).

==>  für alle \( \varepsilon>0 \) gibt es ein \( M \in \mathbb{N} \) so, dass für alle \( n \geq M \) gilt:

                \(  | b_n-b| < \ \varepsilon \)

Sei ε>0 und  N das Maximum von \( M \in \mathbb{N} \) und \( n_{0} \in \mathbb{N} \)

Dann gilt für alle \( n \geq N \):  \( a_{n} \geq b_{n} \) und  \(  | b_n-b| < \ \varepsilon \)

==>    \( a_{n} \geq b_{n} \)   und \(-\varepsilon \lt  b_n-b \lt \varepsilon \)

==>    \( b_{n} \leq a_{n} \)  und \(-\varepsilon+b \lt b_n\lt \varepsilon +b\)

Also \(-\varepsilon+b \lt b_n \leq a_{n} \lt \varepsilon +b\)

Insbesondere \(-\varepsilon+b \leq a_{n} \). q.e.d.