Folgen reeller Zahlen

Question

Kann mir bitte einer bei dieser Aufgabe weiterhelfen, ich komme gar nicht klar damit.

Text erkannt:

Seien $\left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right)$ Folgen reeller Zahlen mit den folgenden Eigenschaften:
(i) Es gibt ein $n_{0} \in \mathbb{N}$, so dass $a_{n} \geq b_{n}$ für alle $n \geq n_{0}$.
(ii) Es gibt ein $b \in \mathbb{R}$ mit $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$.

Zeigen Sie, dass es für alle $\varepsilon>0$ ein $N \in \mathbb{N}$ gibt, so dass für alle $n \geq N$ gilt: $a_{n} \geq b-\varepsilon$.

Comments

Das ist eine direkte Folgerung aus der "Epsilon-Defintion" von Konvergenz.

Answer 1

Es gibt ein $b \in \mathbb{R}$ mit $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$.

==>  für alle $\varepsilon>0$ gibt es ein $M \in \mathbb{N}$ so, dass für alle $n \geq M$ gilt:

                $| b_n-b| < \ \varepsilon$

Sei ε>0 und  N das Maximum von $M \in \mathbb{N}$ und $n_{0} \in \mathbb{N}$

Dann gilt für alle $n \geq N$:  $a_{n} \geq b_{n}$ und  $| b_n-b| < \ \varepsilon$

==>    $a_{n} \geq b_{n}$   und $-\varepsilon \lt b_n-b \lt \varepsilon$

==>    $b_{n} \leq a_{n}$  und $-\varepsilon+b \lt b_n\lt \varepsilon +b$

Also $-\varepsilon+b \lt b_n \leq a_{n} \lt \varepsilon +b$

Insbesondere $-\varepsilon+b \leq a_{n}$. q.e.d.