Aloha :)
Wir haben das in der Schule früher "über Kreuz multiplizieren" genannt:$$\frac{a}{\red b}\pm\frac{c}{\green d}=\frac{a\cdot \green d}{\red b\cdot \green d}\pm\frac{\red b\cdot c}{\red b\cdot\green d}=\frac{a\cdot \green d\pm\red b\cdot c}{\red b\cdot \green d}\quad\bigg|\quad\frac{a}{b}\pink{\nearrow\!\!\!\!\!\!\nwarrow}\frac{c}{d}\mapsto\frac{a\cdot d\pm b\cdot c}{b\cdot d}$$
In deinem konkreten Fall:$$\frac{n+4}{2n+2}-\frac{n+3}{2n}=\frac{(n+2)\cdot2n-(2n+2)\cdot(n+3)}{(2n+2)\cdot2n}$$
Aber das willst du ja eigentlich gar nicht ausrechnen...
Mein Tipp wäre, die Folge selbst zu vereinfachen$$a_n=\frac{n+3}{2n}=\frac{n}{2n}+\frac{3}{2n}=\frac12+\frac{3}{2n}$$bevor du die Monotonie untersuchst:$$a_{n+1}-a_n=\left(\frac12+\frac{3}{2(n+1)}\right)-\left(\frac12+\frac{3}{2n}\right)=\frac{3}{2n+2}-\frac{3}{2n}$$Jetzt wird "über Kreuz multipliziert":$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{3\cdot2n-(2n+2)\cdot3}{(2n+2)\cdot 2n}=\frac{6n-(6n+6)}{(2n+2)\cdot2n}=\frac{-6}{(2n+2)\cdot2n}<0$$Daher gilt \(\;a_{n+1}-a_n<0\;\) bzw. \(\;a_{n+1}<a_n\;\)sodass die Folge streng monoton fällt.
