Erweiterung von Funktionen/Abbildungen

Question

ich habe vielmehr Probleme mit einer Definition als mit einer Aufgabe..

Ich lade euch mal hierzu ein Foto hoch.

Es geht um die Erweiterung vonFunktionen.

Ich habe jetzt so viele Videos dazu gesehen und auch gegoogelt, allerdings bin ich immer noch auf dem gleichen Stand wie vorher..

Kann mir vielleicht jemand, der auf einem besseren Stand ist als ich, kurz die Definition anhand eines Beispiels noch einmal erläutern?

Ich denke das würde mich um einiges weiterbringen.

Vielen lieben Dank schon mal dafür.

Liebe Grüße

Definition 1.25
Es sei \(f: X \rightarrow Y \) eine Funktion und \( X^{**} \supset X \). Eine Funktion \( f^{**}: X^{* *} \rightarrow Y \) mit \( f^{**}(x)=f(x) \) für alle \( x \in X \) heißt eine Erweiterung von \( f \) auf \( {X}^{*} \)

Answer 1

Seien \(X = Y = \mathbb{R}_0^+\) die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen.

Sei \(f: X\to Y\) die Funktion \(x\mapsto \sqrt{x}\).

Seien \(X^{**} = \mathbb{R}\) und \(f^{**}: X^{**}\to Y \) die Funktion \(x\mapsto \sqrt{|x|}\).

Dann ist

• \(X^{**}\supset X\),
• \(f^{**}(x) = f(x)\) für alle \(x\in X\).

Also ist \(f^{**}\) eine Erweiterung von \(f\).

Einziger Unterschied zwischen \(f\) und \(f^{**}\) ist, dass der Definitionsbereich von \(f^{**}\) eine Obermenge des Definitionsbereiches von \(f\) ist. Zum Beispiel ist

        \(f(9) = \sqrt{9} = 3\)

und

        \(f^{**}(9) = \sqrt{|9|} = \sqrt{9} = 3\) .

Im Gegensatz dazu ist

      \(f^{**}(-9) = \sqrt{|-9|} = \sqrt{9} = 3\)

und \(f(-9)\) ist nicht definiert.