Grenzwertberechnung einer rekursiven Folge

Question

Das hier ist meine Aufgabe und Lösung dazu:

Text erkannt:

Sei \( a_{0}:=2 \). Für alle \( n \in \mathbb{N} \) definieren wir rekursiv \( a_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\right) \).
a) (3 P.) Beweisen Sie \( \forall n \in \mathbb{N}: a_{n} \geq \sqrt{2} \) und \( a_{n+1} \leq a_{n} \). Hinweis: Induktion.
\( \begin{array}{l} n=0 \\ a_{0} \geq \sqrt{2} \\ 2 \geq \sqrt{2} \end{array} \)
\( (\omega) \)
\( \begin{array}{l} a_{n+1} \geq \sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\right) \geq \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow a_{n}+\frac{2}{a_{n}} \geq 2 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow a_{n}^{2}+2 \geq 2 \sqrt{2} a_{n} \\ \Leftrightarrow a_{n}^{2}-2 \sqrt{2} a_{n}+2 \geq 0 \\ \Leftrightarrow\left(a_{n}-\sqrt{2}\right)^{2} \geq 0 \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { 1: } \frac{1}{2} \\ \text { I. } a_{n} \end{array} \)
\( (\omega) \)
\( \begin{array}{l} a_{n+1} \leq a_{n} \\ a_{n+1}-a_{n} \leq 0 \\ \Leftrightarrow a_{n+1}-\left(\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\right)\right) \leq 0 \\ \Leftrightarrow a_{n}+\frac{2}{a_{n}} \leq 2 a_{n} \\ \Leftrightarrow \frac{2}{a_{n}} \leq a_{n} \\ \Leftrightarrow 2 \leq a_{n}^{2} \quad(\omega) \end{array} \)
(w)

Jetzt soll ich noch zusätzlich den lim(n->∞) von a_n berechnen, aber ich weiß nicht wirklich, wie man das macht.

Hoffe mir kann jemand helfen. :]

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die rekursiv definierte Folge$$a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)\quad;\quad a_0\coloneqq2$$

Du hast bereits gezeigt, dass \(\;a_{n+1}\le a_n\;\) und \(\;\sqrt2\le a_n\le a_0=2\;\) gilt.

Die Folge \((a_n)\) ist also monoton und beschränkt.

Das garantiert die Existenz des Grenzwertes \(a\).

Daher kannst du die Grenzwertsätze anwenden (Summe / Produkt zweier Folgen konvergiert gegen Summe / Produkt der Grenzwerte der beiden Folgen).

$$a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)\implies\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n+1})=\frac12\left(\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)+\frac{2}{\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)}\right)$$

Wegen \(a=\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)\) und \(a=\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n+1})\) heißt das:$$a=\frac12\left(a+\frac2a\right)\implies 2a=a+\frac2a\implies a=\frac2a\implies a^2=2\stackrel{a_n>0}{\implies}a=\sqrt2$$

Answer 2

Du kannst im Prinzip den Grenzwert einsetzten für a(n+1) und a(n), weil er sich ja nicht mehr verändert. Also hier z.B. Grenzwert G: G = 1/2(G + 2/G). Das kannst du dann recht einfach nach G auflösen.