Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen über ℝ .

Question

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen über \( \mathbb{R} \).
a) \( x^{-2}-3=0 \)
b) \( 5^{2 x}-5^{x+1}=-4 \)
c) \( \sqrt{x+1}+2=0 \)

Answer 1

Aloha :)

zu a) Hier kannst du einfach umformen:$$x^{-2}-3=0\implies\frac{1}{x^2}-3=0\stackrel{\cdot x^2}{\implies}1-3x^2=0\implies3x^2=1$$$$\phantom{x^{-2}-3=0}\stackrel{\div3}{\implies}x^2=\frac13\stackrel{\sqrt{\cdots}}{\implies}x=\pm\frac{1}{\sqrt3}\quad\implies\quad\mathbb L=\left\{-\frac{1}{\sqrt3};+\frac{1}{\sqrt3}\right\}$$

zu b) Hier finden wir ene quadratische Gleichung, die wir faktorisieren können:

$$5^{2x}-5^{x+1}=-4\implies(5^x)^2-5\cdot 5^x+4=0\implies(5^x-4)(5^x-1)=0$$Nach dem Satz vom Nullprodukt finden wir zwei Lösungen:$$5^x-4=0\implies 5^x=4\implies x=\log_5(4)=\frac{\ln(4)}{\ln(5)}\approx0,861353$$$$5^x-1=0\implies5^x=1\implies x=0$$Die Lösungsmenge lautet also:$$\mathbb L=\{0;\log_5(4)\}$$

zu c) Da Wurzeln stets \(\ge0\) sind, ist die linke Seite \(\ge2\) und kann daher nie \(0\) werden.$$\sqrt{x+1}+2=0\implies\mathbb L=\{\}$$

Answer 2

\( x^{-2}-3=0 \)

\( \frac{1}{x^{2}}-3=0   |\cdot x^{2} \)

\( 1-3x^{2}=0  \)

\( x^{2}=\frac{1}{3}  \)

\( x_1=\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{3} \)

\( x_2 =-\frac{\sqrt{3}}{3} \)

\( 5^{2 x}-5^{x+1}=-4 \)

\( 5^{2 x} -5 \cdot 5^{x}=-4 \)

\( (5^{ x} -2,5 )^2=-4+6,25=2,25 \)

1.)

\( 5^{ x} -2,5 =1,5 \)

\( 5^{ x}=4 \)

\( x*ln5 =ln4\)

\( x_1 =\frac{ln4}{ln5}\)

2.)

\( 5^{ x} -2,5 =-1,5 \)

\( 5^{ x}=1 \)

\( x_2=0 \)

\( \sqrt{x+1}+2=0 \)  mit \(x+1≠0\)

\( \sqrt{x+1}=-2 \)

Keine Lösung: Eine Wurzel kann kein negatives Ergebnis haben.