Fehlenden Vektor finden, sodass die Menge an Vektoren eine Basis bilden

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum über R, und die Vektoren v1, . . . , v4 aus V seien linear unabhängig .

In der Aufgabe a) habe ich bereits bewiesen das die folgenden Vektoren auch linear unabhängig sind.

w1 = v2 − v3 + 2v4

w2 = v1 + 2v2 − v3 − v4

w3 = −v1 + v2 + v3 + v4

b) ist jetzt folgende Aufgabe:

Geben Sie einen Vektor w4 aus span{v1, v2, v3, v4} an, so dass {w1, w2, w3, w4} eine Basis von span{v1, v2, v3, v4} ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist, dass ich mit Hilfe der Information dass v1,..,v4 linear unabhängig sind, ja sagen kann, dass span{v1, v2,v3,v4} ja R4 aufspannt. Somit ist mit {w1, w2, w3, w4} eine Basis für R4 gesucht.

Aber jetzt weiß ich nicht weiter. Eine intuitive Idee wäre, dass ich einfach den Vektor (1,1,1,1) hinzufüge, weil dann ja quasi die fehlende "Richtung" auf jeden fall abgedeckt ist. Ich komme darauf, weil ich ja beispielsweise im R3 aus 2 unabhängigen Vektoren (1,0,0), (0,1,0) auch einfach den Vektor (1,1,1) dranhängen könnte, sodass die Vektoren eine Basis bilden.

Danke für jeden Tipp!

Answer 1

eine Basis für R4 gesucht.

davon ist keine Rede. Vielleicht ist ja alles im Vektorraum der

Polynome oder so. Da steht ja anfangs nur:

"Sei V ein Vektorraum über R"

Aber deine Idee ist vielleicht die: Wiel die v's linear

unabhängig sind ist dim (span{v1, v2, v3, v4}) = 4,

Also hat jede Basis von span{v1, v2, v3, v4} genau 4

linear unabhängige Elemente.

Du brauchst also eine Linearkombination von

v1,...,v4 die von w1,w2,w3 linear unabhängig ist.

Es muss also aus aw1+bw2+cw3+dw4 = 0

immer a=b=c=d=0 folgen.

Mit deiner Idee hättest du dann w4 = v1 + v2 + v3 + v4

und das klappt wohl auch.