Steckbriefaufgabe mit 2 Sattelpunkten

Question

Aufgabe:

Ganzrationale Funktion Graph verläuft durch (3|27).

(0|0) und (2|0) sind Sattelpunkte

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt folgende Bedingungen aufgestellt:

f(3)=27

f(0)=0

f(2)=0

f'(0)=0

f'(2)=0

f''(0)=0

f''(2)=0

Aber ich habe keine Ahnung welchen Grad die Funktion hat. Kann mir jemand halfen?

Answer 1

Ganzrationale Funktion Graph verläuft durch \(P(3|27)\).
\((0|0)\) und \((2|0) \)sind Sattelpunkte

\(f(x)=a*x^3*(x-2)^3\)

\(P(3|27)\):

\(f(3)=27a=27\)      \(a=1\)

\(f(x)=x^3*(x-2)^3\)

Comments

Aber was war an meinem Ansatz falsch?

---

Aber was war an meinem Ansatz falsch?

Da sehe ich keinen Fehler.

Es ist eine Funktion 6.Grades:

\(f(x)=a*x^6+b*x^5+c*x^4+d*x^3+e*x^2+f*x +g\)

Das gibt dann einen ellenlangen Rechenweg, der dazu noch fehlerbehaftet sein kann.

---

Und woher weiß ich, dass es eine Funktion 6. Grades sein muss?

---

Und woher weiß ich, dass es eine Funktion 6. Grades sein muss?

Du hast 7 Bedingungen gefunden. Die sind nötig zur Lösung einer solchen Funktion.

---

Aber wenn ich 7 Bedingungen habe müsste es doch auch eine Funktion 7. Grades sein?

---

Aber wenn ich 7 Bedingungen habe müsste es doch auch eine Funktion 7. Grades sein?

Es sei \(f(x)=\frac{1}{3} \cdot (x-1)(x-2)(x+3)\)

Das ist eine Funktion 3. Grades , wo du \(3+1=4\) Bedingungen benötigst.

---

Bilder sagen ja bekanntlich mehr als tausend Worte, aber gerade in der Mathematik sind Worte auch mal besser als Bilder. Man kann den Fragen der FS natürlich auch einfach ausweichen.

Du brauchst immer eine Bedingung mehr als der Grad, weil du ja noch das absolute Glied in deiner Funktion hast. Für eine Funktion 3. Grades ist das dann \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), also 4 Unbekannte.

Answer 2

Bei 7 Bedingungen reicht eine Funktion 6. Grades aus. Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0)=0
f'(0)=0
f''(0)=0
f(2)=0
f'(2)=0
f''(2)=0
f(3)=27

Gleichungssystem

g = 0
f = 0
2e = 0
64a + 32b + 16c + 8d + 4e + 2f + g = 0
192a + 80b + 32c + 12d + 4e + f = 0
480a + 160b + 48c + 12d + 2e = 0
729a + 243b + 81c + 27d + 9e + 3f + g = 27

Errechnete Funktion

f(x) = x^6 - 6·x^5 + 12·x^4 - 8·x^3

Comments

Ich weise darauf hin, dass Moliets hier den deutlich geschickteren Ansatz gewählt hat. Im Rahmen von Steckbriefaufgaben wird allerdings meist eher der von mir aufgezeigte Weg vom Lehrer vorgeschlagen.

Selber würde ich aber auch so wie Moliets vorgehen.