Begründung für Ergebnis einer Grenzwertrechnung

Question

Warum genau wäre N hier am Ende größer-gleich 23? Ich hätte gedacht, es wäre kleiner-gleich 22, weil N laut Aufgabenstellung kleiner-gleich j sein soll.

Text erkannt:

(4 P.) Bestimmen Sie ein \( N \in \mathbb{N} \) so, dass gilt:
Wenn \( j \geq N \), dann \( \left|\frac{5 j^{2}-2}{8 j^{2}+3}-\frac{5}{8}\right|<10^{-3} \). Hinweis/Anmerkung: Es ist nicht nötig, das kleinstmögliche \( N \) zu bestimmen. Wenn man einfach nur \( \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \frac{5 j^{2}-2}{8 j^{2}+3}=\frac{5}{8} \) berechnen möchte, würde man besser die Grenzwertsätze aus der Vorlesung von 13.11.2023 verwenden, aber das ist eine andere Aufgabenstellung.
\( j>0 \)
\( 5-\frac{5 j^{2}-2}{8 j^{2}+3}<10^{-3} \)
\( 8 j^{2}-2>\frac{5}{8}-10^{-3} \)
\( 8 j^{2}+3 \)
\( \frac{5 j^{2}-2}{8}>0,624 \)
\( 8 j^{2}+3 \)
\( 5 j^{2}-2>0,624 \cdot\left(8 j^{2}+3\right) \)
\( j^{2}>484 \)
\( j>22 \)
\( N \geq 23 \)

Answer 1

"Beispiele" heißt wie so oft das Schlüsselwort - probier es aus.

N=10: gilt die Aussage dann für alle \(j \ge 10\)? Gibt das die Rechnung her?

N=15: gilt....

N=22: gilt..... \(j \ge 22\)? Gibt das die Rechnung her?

N=23: ...

Und man schließt auch nicht, dass "N=23 wäre". Beachte die Logik, die ist andersrum: Wie kann (nicht "muss"!) man N wählen, damit ... gilt? Du hast einfach Ungleichungen untereinander geschrieben, das verschleiert, was wir wollen. Der logische Schluss geht, laut Aufgabe, von unten nach oben.

Alles klar?

Comments

Jup danke, tut mir leid, ich hatte ein paar Denkfehler. N ist das kleinste j, also ist j mindestens so groß wie N (j>=N).

Answer 2

Der Bruch \( \frac{5j^2}{8j^2} \) ist offensichtlich gleich \( \frac{5}{8} \) .

Der Bruch \( \frac{5j^2-2}{8j^2+3} \)

ist offensichtlich und aus 2 Gründen noch kleiner als \( \frac{5}{8} \) : Der Zähler ist kleiner geworden UND der Nenner ist größer geworden. Damit ist die Differenz  \( \frac{5 j^{2}-2}{8 j^{2}+3}-\frac{5}{8} \) NEGATIV, und es gilt

\( \left|\frac{5 j^{2}-2}{8 j^{2}+3}-\frac{5}{8}\right|=-( \frac{5 j^{2}-2}{8 j^{2}+3}-\frac{5}{8})=\frac{5}{8}- \frac{5 j^{2}-2}{8 j^{2}+3}\).

Jetzt löse \( \frac{5}{8}- \frac{5 j^{2}-2}{8 j^{2}+3}<10^{-3}\).